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爆锤数据结构（期末复习笔记）_上山打老虎的博客

7 人参与  2022年04月30日 10:35  分类 : 《随便一记》  评论

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目录

  • 写在前面
  • 机考篇
    • 大致内容
    • 例题
      • 无向图求割点
      • 三叉霍夫曼
  • 笔试篇
    • Chapter 1
    • Chapter 2
    • Chapter 3
    • Chapter 4
    • Chapter 5
    • Chapter 6
    • Chapter 7
    • Chapter 9
  • 写在后面

写在前面

笔者按去年实际考试内容，回忆并编写本博客。建议大家收藏，如对考试有帮助，记得回来丢个赞。如果对部分内容有疑问可以直接留言。

机考篇

大致内容

去年第一题、第二题为顺序表，第三题为排序，第四题主要考dfs。第五题为压轴题考了三叉霍夫曼树

数据结构期末机考大致有5道题，难度由浅入深，根据去年实际体验，大致人均AC2~3题。前三题的难度会相对比较简单，主要需要重点复习下顺序表，链表等线性结构，排序算法（选择，插入，冒泡…），哈希查找。第四题一般会相对难一些，需要重点复习一下图的dfs，bfs。最短路径的Dijkstra算法以及最小生成树Prim和Kruskal算法。最后一题会比较难，可能会遇到比较复杂的数据结构，机考过程中前四题全部AC后可以试一下。

例题

这部分的两道题大概是去年机考的第四第五题（前面题记不清了），凭着回忆把题目重新写了下，又做了一遍，自己敲了标程。

无向图求割点

按输入顺序输出无向图的所有割点。（割点：在一个无向图中，如果删除某个顶点以及与该顶点相关联的所有边后，图的连通分量增多，就称这个点为割点。）
输入
第一行为测试数据数。对于每组测试数据，第一个整数 n n n表示该无向图的大小。接下来 n n n个字符串为每个顶点的名称。接下来输入一个 n ∗ n n*n n∗n的方阵作为无向图，0表示两个顶点之间不存在边，1表示两个顶点之间存在边。
输出
输出各个割点的名称。每组测试数据的输出占一行。如果没有割点，则输出No!
样例输入

4
8
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0
3
A B C
0 1 0
1 0 1
0 1 0
5
a b c d e
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
6
v1 v2 v3 v4 v5 v6
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1

样例输出

2 6
B
a b
No!

参考代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

bool *isVisited;
int **matrix;
int n = 0;

//node:当前深搜点    cur:当前判断的割点
void dfs(int node, int cur) {
    isVisited[node] = true;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if ((!isVisited[i]) && i != cur && node != cur && (matrix[node][i] || matrix[i][node])) {
            dfs(i, cur);
        }

    }
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n;
        vector<string> vertex;
        vector<string> res;
        isVisited = new bool[n];
        matrix = new int *[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            string temp;
            cin >> temp;
            vertex.push_back(temp);
            matrix[i] = new int[n];
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                cin >> matrix[i][j];
            }
        }
        int cc = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                cc++;
                dfs(i, -1);
            }
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int temp = 0;
            for (int ii = 0; ii < n; ii++) {
                isVisited[ii] = false;
            }
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (!isVisited[j]) {
                    temp++;
                    dfs(j, i);
                }
            }
            if (temp > cc + 1) {
                res.push_back(vertex[i]);
            }
        }
        if (res.empty()) {
            cout << "No!" << endl;
        } else {
            for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
                cout << res[i] << " ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
    return 0;
}

三叉霍夫曼

给定n个权值，根据这些权值构造三叉霍夫曼树，并进行三叉霍夫曼编码。
输入
第一行输入 t t t，表示有 t 个 t个 t个测试实例
第二行先输入 n n n，表示第1个实例有 n n n个权值，接着输入 n n n个权值，权值全是小于1万的正整数
依此类推
输出：
逐行输出每个权值对应的编码，格式如下：权值-编码
即每行先输出1个权值，再输出一个短划线，再输出对应编码，接着下一行输出下一个权值和编码。
以此类推
样例输入

2
8
1 5 3 4 9 2 6 10
10
1 5 9 6 3 4 7 8 11 12

样例输出

1-100
5-01
3-102
4-00
9-11
2-101
6-02
10-12
1-010
5-120
9-02
6-121
3-011
4-012
7-122
8-00
11-10
12-11

样例代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Node {
    int value;
    int father = -1;
    int son[3];
    string code;

    Node(int value, int father) {
        this->value = value;
        this->father = father;
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            this->son[i] = -1;
        }
    }
};

bool cmp(const Node &a, const Node &b) {
    return (a.father == -1 ? a.value : (9999 + a.value)) < (b.father == -1 ? b.value : (9999 + b.value));
}

int getNode(int num, vector<Node> nodeList) {
    for (int i = 0; i < nodeList.size(); i++) {
        if (nodeList[i].value == num && nodeList[i].father == -1) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

void dfs(int index, vector<Node> &nodeList) {
    if (index == -1) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        if (nodeList[index].son[i] == -1) {
            continue;
        }
        nodeList[nodeList[index].son[i]].code += (nodeList[index].code + to_string(i));
        dfs(nodeList[index].son[i], nodeList);
    }
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<Node> nodeList;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int temp;
            cin >> temp;
            nodeList.push_back(Node(temp, -1));
        }
        while (true) {
            vector<Node> temp(nodeList);
            sort(temp.begin(), temp.end(), cmp);
            if (temp[2].father == -1) {
                nodeList.push_back(Node(0, -1));
                for (int i = 0; i < 3; i++) {
                    nodeList[nodeList.size() - 1].value += temp[i].value;
                    nodeList[nodeList.size() - 1].son[i] = getNode(temp[i].value, nodeList);
                    nodeList[getNode(temp[i].value, nodeList)].father = nodeList.size() - 1;
                }
                continue;
            } else if (temp[1].father == -1) {
                nodeList.push_back(Node(0, -1));
                for (int i = 0; i < 2; i++) {
                    nodeList[nodeList.size() - 1].value += temp[i].value;
                    nodeList[nodeList.size() - 1].son[i] = getNode(temp[i].value, nodeList);
                    nodeList[getNode(temp[i].value, nodeList)].father = nodeList.size() - 1;
                }
                break;
            } else {
                break;
            }
        }
        dfs(nodeList.size() - 1, nodeList);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cout << nodeList[i].value << "-" << nodeList[i].code << endl;
        }
    }
    return 0;
}

笔试篇

笔试篇按上课讲课顺序，以章节为单位进行组织

Chapter 1

  • 逻辑结构四种基本形式：集合结构，线性结构，树状结构，图状结构
  • 数据结构是二元组（数据对象，对象中所有数据成员之间关系的有限集合）
  • 存储结构（又叫物理结构）——顺式，链式（索引，散列）
  • 算法：有穷性，确定性，可行性，有输入&输出
  • 大 O O O标记法=>时间复杂度&空间复杂度

Chapter 2

  • 顺序表
    • 基本操作：插入，删除，合并
    • 优点：可以随机存取，元素地址可用简单公式表示
    • 缺点：插入或删除时要移动大量元素，占用连续地址空间
  • 链表
    • 单链表
      • 每个节点只有一个指针域
      • 指针是元素之间逻辑关系的映像
      • 地址不连续
      • 插入删除方便，查找需要遍历
      • 插入：头插，尾插（头插需要逆序输入）
    • 循环链表
      • 每个节点有两个指针，前驱prior，后继next
      • 插入删除需要改变两个方向的指针
    • 链表存储密度小于1
    • 一般顺序表空间为静态分配，链表动态分配

Chapter 3

  • 栈：Stack
    • 后进先出 LIFO
    • 顺序栈
      • top=base 空栈
      • base=NULL 栈不存在
      • 插入元素/删除元素：top++/top–
      • top-base=stacksize 栈满
    • 链栈
    • 栈的应用：数制转换，括号匹配，行编辑程序，迷宫求解，表达式求解（逆波兰式）
  • 队列：Queue
    • 先进先出 FIFO
    • rear队尾指针->头元素，front队头指针->队尾元素的下一个位置
    • 单链队列：无队满问题，有队空问题
    • 顺序队列：进队rear++，出队front++
    • 循环队列：
      • front=rear 队空
      • (rear+1)%MAXSIZE=front （少用一个空间以区分空队）
      • 插入：rear=(rear+1)%MAXSIZE
      • 删除：front=(front+1)%MAXSIZE
      • 队列长度：(rear-front+MAXSIZE)%MAXSIZE

Chapter 4

  • 串
    • 子串，真子串
    • 块链存储，存储密度小于1
    • 模式匹配
      • 朴素算法：BF算法（Brute Force）
        • 主串指针重复回溯
        • 最优时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)（n为模式串长，m为主串长）
        • 最差时间复杂度 O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)
      • KMP算法：主要思想是消除主串指针重复回溯
        • next函数：只与模式串有关，与主串无关
        • n e x t [ j ] = { 0 j = 1 max ⁡ ( k ∣ 1 < k < j 且 ′ t 1 . . . t k − 1 ′ = ′ t j − k + 1 . . . t j − 1 ′ ) 当 此 集 合 非 空 时 1 e l s e next[j]=\begin{cases} 0 & j=1 \\ \max(k|1<k<j 且't_1...t_{k-1}'='t_{j-k+1}...t_{j-1}') & 当此集合非空时 \\ 1 & else \end{cases} next[j]=⎩⎪⎨⎪⎧​0max(k∣1<k<j且′t1​...tk−1′​=′tj−k+1​...tj−1′​)1​j=1当此集合非空时else​
        • KMP算法改进：nextval
        • 时间复杂度 O ( n + m ) O(n+m) O(n+m)
j j j12345678910
模式串abacabaaad
n e x t [ j ] next[j] next[j]0112123422
n e x t v a l [ j ] nextval[j] nextval[j]0102010422

Chapter 5

  • 数组
    • 行优先顺序，列优先顺序
    • 地址计算
  • 矩阵
    • 矩阵压缩
      • 对称矩阵
        • 存储空间优化： n 2 − > n ( n + 1 ) 2 n^2->\frac{n(n+1)}{2} n2−>2n(n+1)​
        • k = { i ( i − 1 ) 2 + j − 1 i ≥ j j ( j − 1 ) 2 + i − 1 i < j k=\begin{cases} \frac{i(i-1)}{2}+j-1 & i\geq j \\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1 & i< j \end{cases} k={2i(i−1)​+j−12j(j−1)​+i−1​i≥ji<j​
      • 三角矩阵
      • 稀疏矩阵：三元组存储 ( i , j , a i j ) (i,j,a_{ij}) (i,j,aij​)
  • 广义表： a 1 a_1 a1​表头， ( a 2 , . . . , a n ) (a_2,...,a_n) (a2​,...,an​)表尾
    • 长度：元素个数
    • 深度：嵌套深度（递归）
    • 例1： A = ( ) A=() A=()长度为0，深度为1
    • 例2： B = ( ( ) ) B=(()) B=(())长度为1，深度为2
    • Head 取表头，Tail 取表尾
    • 表节点tag=1，原子节点tag=0
      在这里插入图片描述

Chapter 6

  • 树
    • 概念：节点，节点的度，树的度，叶子节点（终端节点），分支节点（非终端节点），孩子，兄弟，祖先，层次，深度（高度），有序树，无序树，森林
    • 性质：树中节点数减一等于度数和
    • 二叉树
      • 性质：第 i i i层至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1个节点，深度为 k k k的二叉树最多有 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1个节点。二叉树终端节点数等于二度节点数加一
      • 完全二叉树：叶子节点只在最后两层，左子树深度等于右子树深度或大一
        • 深度： ⌊ log ⁡ 2 n ⌋ + 1 \lfloor\log_2{n}\rfloor+1 ⌊log2​n⌋+1
        • 双亲： ⌊ n 2 ⌋ \lfloor\frac{n}{2}\rfloor ⌊2n​⌋
        • 左孩子： 2 ∗ i 2*i 2∗i，右孩子： 2 ∗ i + 1 2*i+1 2∗i+1
      • 二叉树顺序存储：浪费空间
        • 二叉链表
        • 含有n节点的二叉链表有n+1个空指针域
      • 二叉树遍历：非线性结构线性化
      • DLR：先序遍历
      • LDR：中序遍历
      • LRD：后序遍历（根节点最后一个输出）
      • 逆波兰式另一种解法：通过后序遍历形成后缀表达式
      • 层次遍历：队列实现（出队一个节点，入队左右孩子）
      • 先序非递归实现：栈存右孩子
    • 线索二叉树
      • 线索：指向前驱和后继的指针
      • 线索链表
      • 遍历线索树不需要栈
    • 树与森林
      • 双亲表示法：多重链表（空链域太多）
      • 单链表
      • 孩子兄弟表示法
        • 左指针：孩子
        • 右指针：兄弟
        • 森林与树的转换
        • 对森林的先序遍历：从左到右一次先序
        • 对森林的中序遍历：从左到右依次后序
    • 赫夫曼树（最优二叉树）
      • 路径，路径长度，树的路径长度
      • 节点的带权路径长度，树的带权路径长度
      • 权值大离根近，权值小离根远
      • 不存在1度节点
      • 如果有n个叶子节点，则共有2n-1个节点
      • 赫夫曼编码：不等长编码，目的是缩短编码长度
      • 编码与解码

Chapter 7

  • 图

    • 无向图：邻接点，度，关联

    • 无向完全图： 1 2 n ( n − 1 ) \frac{1}{2}n(n-1) 21​n(n−1)条边

    • 有向图：邻接点，入度，出度，关联

    • 有向完全图： n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1)条边

    • 稀疏图，稠密图

    • 连通，连通图，连通分量

    • 强连通，强连通图，强连通分量

    • 图的表示：邻接矩阵，邻接表（逆邻接表）

    • 稠密图用邻接矩阵存储，稀疏图用邻接表存储

    • 图的遍历：dfs,bfs

    • dfs：栈实现，先根遍历推广 邻接矩阵 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 邻接表 O ( n + e ) O(n+e) O(n+e)

    • bfs：队列实现，数层次遍历 邻接矩阵 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 邻接表 O ( n + e ) O(n+e) O(n+e)

    • 连通分量

    • 生成树（bfs生成树，dfs生成树）=》生成森林

    • 最小生成树

      • Prim算法：
        • 选点思想：适用于稠密图
        • O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
      • Kruskal算法
        • 选边思想：适用于稀疏图
        • O ( e log ⁡ e ) O(e\log e) O(eloge)

    • AOV网

      • 关键路径：路径长度，关键活动
      • 顶点对应事件，边对应活动
      • 最早发生时间，最晚开始时间
      • 最早开始时间，最晚开始时间，时间余量
      • 最早：正向拓扑 最晚：反向拓扑
        在这里插入图片描述

    • 最短路径

      • 迪杰斯特拉算法 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

Chapter 9

  • 查找表：静态查找表，动态查找表

  • 关键字：主关键字（唯一），次关键字（不唯一）

  • 静态表：顺序表，有序表（折半查找，插值查找），索引顺序表，斐波那契查找

  • 动态表：二叉排序树，平衡二叉树，B树，散列表

  • 评价标准：平均查找长度：ASL

  • 顺序表与链表：遍历逐个找

    • 优点：简单，适应面广
    • 缺点：ASL比较大，数据多时查找效率很低

  • 索引查找表：先根据索引找到记录所在的块，再从块中找

  • 哨兵法：省略对下标越界的检查，提高算法执行速度

  • 折半查找（二分查找）

    • 前提：有序，顺序存储
    • 判定树： n n n个节点，最多判定 ⌊ log ⁡ 2 n ⌋ + 1 \lfloor\log_2{n}\rfloor+1 ⌊log2​n⌋+1次
    • A S L = n + 1 n log ⁡ 2 ( n + 1 ) − 1 ≈ log ⁡ 2 ( n + 1 ) − 1 ASL=\frac{n+1}{n}\log_2(n+1)-1\approx\log_2(n+1)-1 ASL=nn+1​log2​(n+1)−1≈log2​(n+1)−1
    • 只适用于有序表的顺序存储
    • 效率很高

  • 索引顺序表

    • 索引：把一个关键字与它对应的记录相关联的过程
    • 索引存储结构：数据主表，索引表
    • 索引项的一般形式：关键字值+地址
    • 主表：用数组存待查记录，每个数据元素至少有一个关键字域
    • 索引表：按关键字有序，表中每个节点有最大关键字域和指向本块的第一个节点的指针
    • 块间有序，块内无序
    • 第 i + 1 i+1 i+1个块的关键字均大于（小于）第 i i i个块的记录关键字
    • A S L = log ⁡ 2 ( n s + 1 ) + s 2 ASL=\log_2(\frac{n}{s}+1)+\frac{s}{2} ASL=log2​(sn​+1)+2s​（长度为n的表分为b块，每块有s个记录）

  • 二叉排序树

    • 左小右大
    • 中序遍历二叉排序树得到增序列
    • 插入，删除都保持有序性

  • 平衡二叉树（AVL树）

    • 平衡因子（Balance Factor）：左子树高度减右子树高度
    • 平衡化旋转
      • 单向：单向左旋，单向右旋
      • 双向：先左后右，先右后左
    • 适合查找，较少插入和删除

  • B树（多路平衡查找树）

    • B-：非终端节点至少有 ⌈ m 2 ⌉ \lceil\frac{m}{2}\rceil ⌈2m​⌉棵子树，最多有 m m m棵子树
      • 叶子节点都同一层次且不包含任何信息
      • 若 m m m阶B-树中有 N N N个关键字，则叶子节点（查找不成功的节点）有 N + 1 N+1 N+1个

  • B+树

    • 一个节点有 N N N个关键字，则一定有 N N N棵子树
    • 叶子节点按小到大链接
    • 叶子结点包含了全部记录的关键字信息以及关键字记录的指针
    • 非终端节点中只含有其子树根节点中最大最小关键字

  • 哈希

    • 哈希存储：数组存储
    • 哈希函数：关键字与对应地址的联系（哈希函数是一个压缩映象）
    • 直接定址法：关键字的线性函数，仅适用于地址集与关键字集等大
    • 数字分析法：选几位
    • 平方取中法：适用于关键字中（比较常用）
    • 折叠法：移位相加，间界相加（类似蛇形）从右向左分割 适用于关键字位数比较多，数字分布比较均匀的情况
    • 除留余数法：最简单，最常用。（选择质数，或不含20以内质因子的合数）
    • 设计哈希函数应考虑：
      • 计算哈希函数所需时间
      • 关键字长度
      • 哈希表大小
      • 关键字分布情况
      • 记录查找频率
    • 解决冲突
      • 开放定址法：线性探测再散列，二次探测再散列，伪随机探测再散列。充分利用空间，但比较容易产生聚集
      • 再哈希法：构造若干个哈希函数，不易聚集但增加计算时间
      • 链地址法（拉链法）：表前插入/表后插入
      • 建立公共溢出区
      • 哈希查找：按照处理冲突的方式查找，知道地址对应值为空
        • 装填因子 α = 记 录 数 哈 希 表 长 \alpha=\frac{记录数}{哈希表长} α=哈希表长记录数​
        • 线性探测再散列： A S L = 1 2 ( 1 + 1 1 − α ) ASL=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{1-\alpha}) ASL=21​(1+1−α1​)
        • 二次探测再散列： A S L = − 1 a ln ⁡ ( 1 − a ) ASL=-\frac{1}{a}\ln{(1-a)} ASL=−a1​ln(1−a)
        • 链地址法： A S L = 1 + α 2 ASL=1+\frac{\alpha}{2} ASL=1+2α​

  • 排序

    • 性能评价：时间复杂度，辅助空间，稳定性
    • 内部排序
      • 插入排序
        • 直接插入排序
          • 稳定
          • 最好情况：比较 n − 1 n-1 n−1次 移动 0 0 0次
          • 最差情况：比较 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)​次 移动 1 2 ( n − 1 ) ( n + 4 ) \frac{1}{2}(n-1)(n+4) 21​(n−1)(n+4)次
        • 希尔排序
          • 不稳定
          • 克服了直接插入排序每次只能交换相邻两个记录的缺点
      • 选择排序
        • 简单选择排序
          • 不稳定
          • 辅助空间 O ( 1 ) O(1) O(1)
          • 时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
        • 堆排序
          • 不稳定
          • 辅助空间 O ( 1 ) O(1) O(1)
          • 时间复杂度 O ( n log ⁡ n ) O(n\log{n}) O(nlogn)
      • 交换排序
        • 冒泡排序
          • 稳定
          • 时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
          • 最坏比较次数 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)​，交换次数 3 n ( n − 1 ) 2 \frac{3n(n-1)}{2} 23n(n−1)​
        • 快速排序
          • 不稳定
          • 最好时间复杂度 O ( n log ⁡ n ) O(n\log{n}) O(nlogn)
          • 最坏时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
      • 归并排序
        • 稳定
        • 2路归并
          • 辅助空间 O ( n ) O(n) O(n)
          • 时间复杂度 O ( n log ⁡ n ) O(n\log{n}) O(nlogn)
      • 基数排序
        • 稳定
        • 时间复杂度 O ( d ( n + r a d i x ) ) O(d(n+radix)) O(d(n+radix))（关键字d位，每位基数radix，n个对象）
        • 辅助空间 O ( n + r a d i x ) O(n+radix) O(n+radix)

    笔试题记不清了，只记得去年笔试附加题考了十字链表

    写在后面

    记得去年考数据结构时候焦头烂额，笔试前一天晚上通宵一晚整理复习了一本书。当时困得要死，好在后来结果差强人意。现在把当时笔记重新整理下分享出来，方便大家复习。大家加油嗷！！！


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