3 操作臂运动学

3.1 引言

运动学只研究运动特性，不考虑施加的力。
操作臂运动学涉及所有与运动有关的几何参数和与时间有关的性质。
本章重点是把操作臂关节变量作为自变量，描述操作臂末端执行器与操作臂基座之间的函数关系。

3.2 连杆的描述

操作臂=以关节连成的运动链的刚体。这些刚体称为连杆。
刚体间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时，称为低副。低副有6种，转动副，移动副，圆柱副，平面副，螺旋副和球面副。
设计机器人时，优先选择一个自由度的关节。（转动、移动关节）
基座定义为连杆0，第一个可动连杆定义为连杆1，以此类推，最后一个为连杆n。为实现任何位置和姿态，需要至少6个关节。
连杆i绕关节轴i相对于连杆i-1转动，轴i-1与轴i之间的距离 a i − 1 a_{i-1} ai−1​即为连杆i-1的长度，夹角为 α i − 1 \alpha_{i-1} αi−1​。夹角按照右手定则，绕公垂线从i-1转向轴线i。

3.3 连杆连接的描述

处于运动链中间的连杆
相邻两个连杆之间有一个公共转轴，沿两个连杆公共轴线方向的距离可以用连杆偏距来描述。关节轴i上的偏距记为 d i d_i di​；两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角称为关节角，记为 θ i \theta_i θi​。

当关节i为移动关节时， d i d_i di​是一个变量；
当关节i为转动关节时， θ i \theta_i θi​是一个变量。

运动链中首末端连杆
如果1为转动关节， θ 1 \theta_1 θ1​的零位任取， d 1 d_1 d1​=0；
如果1为移动关节， d 1 d_1 d1​的零位任取， θ 1 \theta_1 θ1​=0。

a 0 = a n = 0 a_0=a_n=0 a0​=an​=0， α 0 = α n = 0 \alpha_0=\alpha_n=0 α0​=αn​=0

连杆参数
每个连杆用4个参数来表达，2个用来描述连杆本身，2个用来描述相互之间的连接关系。

转动关节： θ i \theta_i θi​为关节变量，其他三个参数固定不变
移动关节： d i d_i di​为关节变量，其他三个参数固定不变

连杆参数描述机构运动关系的方法称为Denavit-Hartenber方法。一个6关节机器人，18个参数即可描述这些固定的运动参数，如果是6个转动关节，则18个参数可以分为6组， ( a i , α i , d i ) (a_i,\alpha_i,d_i) (ai​,αi​,di​)。

3.4 连杆坐标系的定义

为了描述每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系，在每个连杆上定义一个固连坐标系，连杆i对应坐标系{i}。
运动链中间位置连杆坐标系的定义
Z轴与关节轴重合，原点位于公垂线与关节轴交点处，X轴沿公垂线指向下一个关节轴，Y轴遵循右手定则。
运动链首末端连杆坐标系的定义
基座（连杆0）上的坐标系固定不动，一般作为参考坐标系。参考坐标系可任意设定，但通常设定 Z ^ 0 \hat Z_0 Z^0​轴沿关节轴1的方向，且当关节变量1为0时，坐标系{0}与坐标系{1}重合。因此总有 a 0 = 0 , α 0 = 0 a_0=0, \alpha_0=0 a0​=0,α0​=0。对转动关节而言， d 1 = 0 d_1=0 d1​=0，对移动关节而言， θ 1 = 0 \theta_1=0 θ1​=0。

对于转动关节n，当 θ n = 0 \theta_n=0 θn​=0时， X ^ N \hat X_N X^N​与 X ^ N − 1 \hat X_{N-1} X^N−1​方向相同，选择{N}的原点，使之满足 d n = 0 d_n=0 dn​=0。
对于移动关节n，设定 X ^ N \hat X_N X^N​轴的方向使之满足 θ N = 0 \theta_N=0 θN​=0，当 d n = 0 d_n=0 dn​=0时选取坐标系{N}的原点位于 X ^ N − 1 \hat X_{N-1} X^N−1​轴与关节轴n的交点。

连杆参数在坐标系中的表示方法
a i a_i ai​：沿 X ^ i \hat X_i X^i​轴，从 Z ^ i \hat Z_i Z^i​移动到 Z ^ i + 1 \hat Z_{i+1} Z^i+1​轴的距离
α i \alpha_i αi​：绕 X ^ i \hat X_i X^i​轴，从 Z ^ i \hat Z_i Z^i​旋转到 Z ^ i + 1 \hat Z_{i+1} Z^i+1​轴的角度
d i d_i di​：沿 Z ^ i \hat Z_i Z^i​轴，从 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1​移动到 X ^ i \hat X_i X^i​轴的距离
θ i \theta_i θi​：沿 X ^ i \hat X_i X^i​轴，从 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1​旋转到 X ^ i \hat X_i X^i​轴的角度

连杆坐标系的建立步骤

1. 找出各关节轴，并标出轴的延长线
2. 找出轴i与轴i+1之间的公垂线或两轴之间的交点，以此交点或公垂线与i轴交点为原点，确定坐标系{i}的原点
3. 规定 Z ^ i \hat Z_i Z^i​轴的指向
4. 规定 X ^ i \hat X_i X^i​轴沿着公垂线的指向，如为相交两周，则规定垂直两轴平面的指向
5. 按照右手定则确定 Y ^ i \hat Y_i Y^i​轴的指向
6. 当第一个关节变量为0时，令坐标系{0}与坐标系{1}重合。对于坐标系{N}，其原点和 X ^ N \hat X_N X^N​的方向可以任意选取，选取时尽量使两岸参数为0。

3.5 操作臂运动学

推导相邻连杆之间坐标变换的一般形式，然后将这些独立的变换联系起来求出连杆n对于连杆0的位置和姿态，是本节的核心。
连杆变换的推导
这里用到了科学方法论，将此问题分解成n个 i i − 1 T ^{i-1}_iT ii−1​T的求解，再将单个 i i − 1 T ^{i-1}_iT ii−1​T分解成4个独立变换，每个变换对应一个连杆参数
坐标系i对于坐标系i-1的推导，即 i i − 1 T ^{i-1}_iT ii−1​T

取三个中间坐标系，{P},{Q},{R}
由于旋转了 α i − 1 \alpha_{i-1} αi−1​，{R}与{i-1}不同
由于平移了 a i − 1 a_{i-1} ai−1​，{Q}与{R}不同
由于旋转了 θ i \theta_i θi​，{P}与{Q}不同
由于平移了 d i d_i di​，{i}与{P}不同

因此如果想把坐标系{i}中的矢量变换成{i-1}中的矢量，即可写成：
i − 1 P = R i − 1 T P Q T i P T i P = i i − 1 T P ^{i-1}P=^{i-1}_RT^Q_PT^P_iT^iP=^{i-1}_iTP i−1P=Ri−1​TPQ​TiP​TiP=ii−1​TP
即： i i − 1 T = R i − 1 T Q R T P Q T i P T ^{i-1}_iT=^{i-1}_RT^R_QT^Q_PT^P_iT ii−1​T=Ri−1​TQR​TPQ​TiP​T
由上述变换，则可写成 i i − 1 T = R X ( α i − 1 ) D X ( a i − 1 ) R Z ( θ i ) D Z ( d i ) ^{i-1}_iT=R_X(\alpha_{i-1})D_X(a_{i-1})R_Z(\theta_i)D_Z(d_i) ii−1​T=RX​(αi−1​)DX​(ai−1​)RZ​(θi​)DZ​(di​)
还可写成 i i − 1 T = S c r e w X ( a i − 1 , α i − 1 ) S c r e w ( d i , θ i ) ^{i-1}_iT=Screw_X(a_{i-1},\alpha_{i-1})Screw(d_i,\theta_i) ii−1​T=ScrewX​(ai−1​,αi−1​)Screw(di​,θi​)，Screw为算子，表示先平移再旋转
连乘即可得到结果：
i i − 1 T = ( c θ i − s θ i 0 a i − 1 s θ i c α i − 1 c θ i c α i − 1 − s α i − 1 − s α i − 1 d i s θ i s α i − a c θ i s α i − 1 c α i − 1 c α i − 1 d i 0 0 0 1 ) ^{i-1}_iT=\left(\begin{matrix} c\theta_i & -s\theta_i & 0 & a_{i-1}\\ s\theta_ic\alpha_{i-1} & c\theta_ic\alpha_{i-1} & -s\alpha_{i-1} & -s\alpha{i-1}d_i\\ s\theta_is\alpha_{i-a} & c\theta_is\alpha_{i-1} & c\alpha_{i-1} & c\alpha_{i-1}d_i\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right) ii−1​T=⎝⎜⎜⎛​cθi​sθi​cαi−1​sθi​sαi−a​0​−sθi​cθi​cαi−1​cθi​sαi−1​0​0−sαi−1​cαi−1​0​ai−1​−sαi−1di​cαi−1​di​1​⎠⎟⎟⎞​
连杆变换的连乘 N 0 T = 1 0 T 2 1 T ⋯ N N − 1 T ^0_NT=^0_1T^1_2T \cdots ^{N-1}_{N}T N0​T=10​T21​T⋯NN−1​T，是关于n个关节变量的函数，如果通过传感器测出每个关节变量，即可计算出末端位置和姿态。

3.6 驱动空间、关节空间和笛卡尔空间

n个关节变量组成一个nx1的关节向量，所有关节向量组成的空间被称作关节空间。相应的有驱动空间和笛卡尔空间。从驱动空间 → \to →关节空间 → \to →笛卡尔空间的计算被称为正运算，反之为逆运算。

3.7 实例：两种工业机器人的运动学问题

分别是Unimation公司的PUMA 560机器人和Yasukawa公司的Motoman L-3机器人。

3.8 坐标系的标准命名

基座标系{B}： 即基座上的坐标系{0}
固定坐标系{S}： 桌子角上的坐标系，也叫任务坐标系、世界坐标系或通用坐标系
腕部坐标系{W}： 操作臂末端连杆上的坐标系，也叫{N}，原点位于操作臂手腕上
工具坐标系{T}： 附于机器人所夹持工具的末端，没有工具时，原点位于机器人的指尖之间
目标坐标系{G}： 对机器人移动工具要达到的位置的描述，即运动结束时，工具坐标系需与目标坐标系重合

3.9 工具的位置

变换方程 T S T = S B T − 1 W B T T W T ^S_T{T} = ^B_ST^{-1}{^B_WT}^W_TT TS​T=SB​T−1WB​TTW​T一般被称为定位函数，用它可以计算手臂的位置。

3.10 计算问题

浮点数or定点数表示变量，由于变化范围较小，用定点数表示可以减少运算量。
做因式分解，以增加局部变量的代价减少乘法和加法次数。
正余弦采用查表法。
姿态求解时，先计算前两列，第三列是前两列做叉乘。