0.前言

1.理论基础

2.Cauchy分布的极大似然估计

2.1理论基础

2.2算法

2.2.1R语言实现

2.2.2Python语言实现

3.Gamma 分布的极大似然估计

3.1理论基础

3.2算法

3.2.1R语言实现

3.2.2Python语言实现

0.前言

最近在学习Theory and Method of Statistics（统计理论方法）,使用的教材是由Bradley Efron 、Trevor Hastie共同编写的Computer Age Statistical Inference: Algorithms, Evidence, and Data Science(《计算机时代的统计推断：算法、演化和数据科学》)。书中第四章讲述的Fisherian Inference and Maximum Likelihood Estimation（费雪推断和极大似然估计）,其中提到现实应用中极大似然估计并没有那么容易求解,比如Cauchy分布和Gamma分布。

如果极大似然估计方法没有显式解,可以考虑用数值计算的方法求解(如牛顿法);更进一步，如果二阶导不存在或Hessian矩阵非正定,可以使用拟牛顿法;再复杂一些,可以使用MM算法(EM是MM的特例) 。本文以牛顿法为例,给出求解 Cauchy分布、Gamma分布的极大似然估计参数的理论并使用R和Python实现。

1.理论基础

本节给出牛顿法求分布的极大似然参数估计的一般理论。

如果随机变量 $x$ 独立同分布于 $f(x|\theta)$ ,且已知一组样本 $X=\{x_1,...,x_n\}$ ,为了估计该分布的参数，可以使用极大似然估计的方法。

首先写出样本的似然函数

$L(\theta)=f(x_1,...,x_n|\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i|\theta)$

对 $L(\theta)$ 进行对数化处理,得到对数似然函数 $l(\theta)$

$l(\theta)=ln(L(\theta))=\sum_{i=1}^{n}ln(f(x_i,\theta))$

则求解未知参数 $\theta$ 等价于求解以下等式方程组

$\dot{l}(\hat{\theta})=\frac{\partial{l(\hat{\theta})}}{\partial{\hat{\theta}}}=\vec{0}$

不妨假设收敛解为 $\hat{\theta}$ ,将 $\dot{l}(\theta)$ 在 $\hat{\theta}$ 的邻域内展开成泰勒级数得

$\dot{l}(\theta)=\dot{l}(\hat{\theta})+\ddot{l}(\hat{\theta})(\theta-\hat{\theta})+o(||\theta-\hat{\theta}||_2^2)$

$\dot{l}(\theta)=\dot{l}(\hat{\theta})+\ddot{l}(\hat{\theta})(\theta-\hat{\theta}),\theta\rightarrow \hat{\theta}$

$\dot{l}(\hat{\theta})=0\Rightarrow \theta=\hat{\theta}-(\ddot{l}(\hat{\theta}))^-\dot{l}(\hat{\theta})$

这样就得到一个迭代关系式

$\hat{\theta}^{(k+1)}=\hat{\theta}^{(k)}-(\ddot{l}(\hat{\theta}^{(k)}))^-\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$

如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能。粗略地说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

2.Cauchy分布的极大似然估计

如果随机变量 $x$ 服从柯西分布,记为 $x\sim{C(\gamma,\theta)}$ ,其中 $\gamma$ 为最大值一半处的一半宽度的尺度参数(scale parameter ), $\theta$ 为定义分布峰值位置的位置参数(location parameter )

$f(x|\gamma,\theta)=\frac{1}{\pi\gamma}\frac{1}{(1+(\frac{x-\theta}{\gamma})^2)}=\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{({x-\theta})^2+\gamma^2},x\in(-\infty,\infty)$

当 $\gamma=1,\theta=0$ ,此时的Cauchy 分布称为标准Cauchy 分布

$f(x|\gamma=1,\theta0)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{(1+{x}^2)},x\in(-\infty,\infty)$

Cauchy 分布的最特别的性质是其期望及高阶矩都不存在,自然也就无法对参数进行矩估计。但Cauchy分布的cdf具有很好的性质,可以利用一组样本的分位点来对参数进行点估计。

$F(x|\gamma,\theta)=\int_{\theta}^{x}\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{({x-\theta})^2+\gamma^2}dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arctan(\frac{x-\theta}{\gamma}),x\in(-\infty,\infty)$

$\because F(\theta|\gamma,\theta)=\frac{1}{2}, F(\theta+\gamma|\gamma,\theta)=\frac{3}{4}$

$\therefore \hat{\theta}=X_{\frac{1}{2}},\hat{\theta}+\hat{\gamma}=X_{\frac{3}{4}}$

$\therefore \hat{\gamma}=X_{\frac{3}{4}}-X_{\frac{1}{2}},\hat{\theta}=X_{\frac{1}{2}}$

2.1理论基础

使用极大似然方法估计 $\lambda=\begin{pmatrix} \gamma\\ \theta \end{pmatrix}$ ,已知样本 $X=\{x_1,...,x_n\}$

$x_i \overset{i.i.d} {\sim}C(\gamma,\theta)$

$f(x|\gamma,\theta)=\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{({x-\theta})^2+\gamma^2},x\in(-\infty,\infty)$

$L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{({x_i-\theta})^2+\gamma^2}$

$l(\lambda)=\sum_{i=1}^{n}ln(\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{({x_i-\theta})^2+\gamma^2})=-nln(\pi)+nln(\gamma)-\sum_{i=1}^{n}ln((x_i-\theta)^2+\gamma^2)$

$\dot{\l}(\lambda)=\bigl(\begin{smallmatrix} \frac{n}{\gamma}-\sum_{i=1}^{n}\frac{2\gamma}{(x_i-\theta)^2+\gamma^2}\\ \sum_{i=1}^{n}\frac{2(x_i-\theta)}{(x_i-\theta)^2+\gamma^2} \end{smallmatrix}\bigr)= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$

$\ddot{\l}(\lambda)=\begin{bmatrix} -\frac{n}{\gamma^2}-\sum_{i=1}^{n}\frac{2((x_i-\theta)^2-\gamma^2)}{((x_i-\theta)^2+\gamma^2)^2}&-\sum_{i=1}^{n}\frac{4\gamma(x_i-\theta)}{((x_i-\theta)^2+\gamma^2)^2} \\ -\sum_{i=1}^{n}\frac{4\gamma(x_i-\theta)}{((x_i-\theta)^2+\gamma^2)^2}&\sum_{i=1}^{n}\frac{2((x_i-\theta)^2-\gamma^2)}{((x_i-\theta)^2+\gamma^2)^2} \end{bmatrix}$

故迭代公式为

$\hat{\theta}^{(k+1)}=\hat{\theta}^{(k)}-(\ddot{l}(\hat{\theta}^{(k)}))^-\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$

2.2算法

Step0:给定 $\hat{\theta}^{(0)}=\begin{pmatrix} quantile(X,0.75)-median(X)\\ median(X) \end{pmatrix}$ , $k=0$ ,停止精度 $\varepsilon=10^{-5}$

Step1:计算 $\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$ ,如果

$||\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})||_2\leq \varepsilon$

则终止,否则进行下一步

Step2:计算 $\ddot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$ ,令

$d^{(k)}=-\ddot{l}(\hat{\theta}^{(k)})^-\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$

Step3:计算 $\hat{\theta}^{(k)}=\hat{\theta}^{(k)}+d^{(k)},k=k+1$ , 跳转Step1

2.2.1R语言实现

# 设立牛顿算法框架
Newtons = function(fun, x, theta,ep = 1e-5, it_max = 100){
  index = 0 ;k = 1
  while (k <= it_max){
    theta1 = theta
    obj = fun(x,theta)
    theta = theta - solve(obj$J,obj$f)
    norm = sqrt((theta - theta1) %*% (theta - theta1))
    if (norm < ep){
      index = 1; break
    }
    k = k + 1
  }
  obj = fun(x,theta)
  list(root = theta, it = k, index = index, FunVal = obj$f)
}
# 计算hessian矩阵和一阶导数
funs = function(x,theta){
  n = length(x)
  temp_1 = (x-theta[2])^2+theta[1]^2
  temp_2 = (x-theta[2])^2-theta[1]^2
  f = c(n/theta[1]-sum(2*theta[1]/temp_1), 
         sum((2*(x-theta[2]))/temp_1))
  J = matrix(c(-n/theta[1]^2-sum(2*temp_2/temp_1^2), -sum((4*theta[1]*(x-theta[2]))/temp_1^2),
                -sum((4*theta[1]*(x-theta[2]))/temp_1^2),sum(2*temp_2/temp_1^2)), nrow = 2, byrow = T)
  list(f = f, J = J)
}

# 抽取1000个样本
set.seed(80)
sample = rcauchy(1000,scale = 2,location = 2)

# 计算cauchy分布参数的分位数估计作为初始值
gamma_ = quantile(sample,0.75) - median(sample)
theta_ = median(sample)
theta = c(gamma_,theta_)

Newtons(funs,sample,theta)

2.2.2Python语言实现

import numpy as np
import scipy.stats as st

np.random.seed(12)
sample = st.cauchy.rvs(loc=1,scale = 1,size = 100) # scipy.stats.cauchy.rvs(loc=0, scale=1, size=1, random_state=None)
gamma_ = np.quantile(sample,0.75) - np.median(sample)
theta_ = np.median(sample)
theta = np.array([gamma_,theta_])

def Newtons(fun,x,theta,ep=1e-5,it_max = 100):
    index = 0
    k = 1
    while k <= it_max:
        theta1 = theta
        obj = fun(x,theta)
        theta = theta - np.dot(np.linalg.inv(obj[1]),obj[0])
        norm = np.sqrt(np.sum((theta - theta1)**2))
        if norm < ep:
            index = 1
            break
        k = k+1
    obj = fun(x,theta)
    print('gamma,theta估计值为%.3f,%.3f'%(theta[0],theta[1]))
def funs(x,theta):
    n = len(x)
    temp_1 = (x - theta[1]) ** 2 + theta[0] ** 2
    temp_2 = (x - theta[1]) ** 2 - theta[0] ** 2
    f = np.array([n/theta[0]-np.sum(2*theta[0]/temp_1),
                  np.sum((2*(x-theta[1]))/temp_1)])
    j = np.array([[-n/theta[0]**2-sum(2*temp_2/temp_1**2),-np.sum((4*theta[0]*(x-theta[1]))/temp_1**2)],
                  [-np.sum((4*theta[0]*(x-theta[1]))/temp_1**2),sum(2*temp_2/temp_1**2)]])
    return [f,j]

Newtons(funs,sample,theta)

3.Gamma 分布的极大似然估计

如果随机变量 $x$ 服从Gamma分布,记为 $x\sim{G(\alpha,\beta,\lambda)}$ ,其中 $\alpha$ 为形状参数(shape parameter),β 为尺度参数(scale parameter ),λ 为位置参数(location parameter)

$f(x|\alpha,\beta,\lambda)=\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}(x-\lambda)^{\alpha-1}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}},x\in(\lambda,\infty)$

为了给出Gamma分布三个参数的矩估计，现考虑分布的一二三阶原点矩(求解的技巧在于凑Gamma函数)

以一阶原点矩的证明为例，将x拆分为

$x=(x-\lambda)+\lambda$

故

$E(x)=\int_{\lambda}^{\infty}x\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}(x-\lambda)^{\alpha-1}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}}dx$

$=\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\int_{\lambda}^{\infty}(x-\lambda+\lambda)(x-\lambda)^{\alpha-1}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}}dx$

$=\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\int_{\lambda}^{\infty}(x-\lambda)^{\alpha}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}}+\lambda(x-\lambda)^{\alpha-1}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}} dx$

$=\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\int_{\lambda}^{\infty}[\beta^{\alpha}(\frac{x-\lambda}{\beta})^{\alpha}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}}+\lambda(\frac{x-\lambda}{\beta})^{\alpha-1}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}}] d\frac{x-\lambda}{\beta}$

$=\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}[\beta^{\alpha}(t)^{\alpha}e^{-t}+\lambda(t)^{\alpha-1}e^{-t}] dt$

$=\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}(\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)+\beta^{\alpha}\lambda\Gamma(\alpha))$

$=\alpha\beta+\lambda$ ①

对于二阶三阶原点矩，分别将 $x^2,x^3$ 拆分为

$x^2=(x-\lambda)^2+2\lambda(x-\lambda)+\lambda^2$

$x^3=(x-\lambda)^3+3\lambda(x-\lambda)^2+3\lambda^2(x-\lambda)+\lambda^3$

易得

$E(x^2)=\alpha^2\beta^2+\alpha\beta^2+2\alpha\beta\lambda+\lambda^2$

$E(x^3)=\alpha^3\beta^3+3\alpha^2\beta^3+2\alpha\beta^3+3\alpha^2\beta^2\lambda+3\alpha\beta^2\lambda+3\alpha\beta\lambda^2+\lambda^3$

又

$Var(x)=E[(x-E(x))^2]=E(x^2)-E^2(x)=\alpha\beta^2$ ②

$m_3=E[(x-E(x))^3]=E(x^3)-3E(x^2)E(x)+2E^3(x)=2\alpha\beta^3$ ③

由①②③可得

$\therefore\hat{\alpha}=\frac{4(Var(x))^3}{m_3^2},\hat{\beta}=\frac{m_3}{2Var(x)},\hat{\lambda}=mean(x)-2\frac{(Var(x))^2}{m_3}$

3.1理论基础

已知样本 $X=\{x_1,...,x_n\}$ ,参数 $\theta=\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \\ \lambda \end{bmatrix}$

$f(x|\theta)=\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}(x-\lambda)^{\alpha-1}e^{-\frac{x-\lambda}{\beta}}$

$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}(x_i-\lambda)^{\alpha-1}e^{-\frac{x_i-\lambda}{\beta}}$

$l(\theta)=-n\alpha ln(\beta)-n ln(\Gamma(\alpha))+(\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}ln(x_i-\lambda)-\frac{1}{\beta}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\lambda)$

$\dot{l}(\theta)=\begin{pmatrix} -n ln(\beta)-n\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}+\sum_{i=1}^{n}ln(x_i-\lambda)\\ -n\frac{\alpha}{\beta}+\frac{1}{\beta^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\lambda) \\ (\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}\frac{-1}{x_i-\lambda}+\frac{n}{\beta} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\ddot{l}(\theta)=\begin{pmatrix} -n(\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)})' &-\frac{n}{\beta} &\sum_{i=1}^{n}\frac{-1}{x_i-\lambda} \\ -\frac{n}{\beta} &n\frac{\alpha}{\beta^2} -\frac{2}{\beta^3}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\lambda) &-\frac{n}{\beta^2} \\ \sum_{i=1}^{n}\frac{-1}{x_i-\lambda} & -\frac{n}{\beta^2} & (\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}\frac{-1}{(x_i-\lambda)^2} \end{pmatrix}$

故迭代公式为

$\hat{\theta}^{(k+1)}=\hat{\theta}^{(k)}-(\ddot{l}(\hat{\theta}^{(k)}))^-\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$

3.2算法

Step0:给定 $\hat{\theta}^{(0)}=\begin{pmatrix} \frac{4(Var(x))^3}{m_3^2}\\ \frac{m_3}{2Var(x)}\\mean(x)-2\frac{(Var(x))^2}{m_3} \end{pmatrix}$ , $k=0$ ,停止精度 $\varepsilon=10^{-5}$

Step1:计算 $\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$ ,如果

$||\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})||_2\leq \varepsilon$

则终止,否则进行下一步

Step2:计算 $\ddot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$ ,令

$d^{(k)}=-\ddot{l}(\hat{\theta}^{(k)})^-\dot{l}(\hat{\theta}^{(k)})$

Step3:计算 $\hat{\theta}^{(k)}=\hat{\theta}^{(k)}+d^{(k)},k=k+1$ , 跳转Step1

3.2.1R语言实现

# 设立牛顿算法框架
Newtons = function(fun, x, theta,ep = 1e-5, it_max = 100){
  index = 0; k = 1
  while (k <= it_max ){
    theta1 = theta; obj = fun(x,theta)
    theta = theta - solve(obj$J,obj$f)
    norm = sqrt((theta - theta1) %*% (theta - theta1))
    if (norm < ep){
      index = 1; break
    }
    k = k + 1
  }
  obj = fun(x,theta)
  list(root = theta, it = k, index = index, FunVal = obj$f)
}
# 计算hessian矩阵和一阶导数
funs = function(x,theta){
  n = length(x)
  f = c(-n*log(theta[2])-n*digamma(theta[1])+sum(log(x-theta[3])), 
         -n*theta[1]/theta[2]+1/(theta[2]^2)*sum(x-theta[3]),
         (theta[1]-1)*sum(-1/(x-theta[3]))+n/theta[2])
  J = matrix(c(-n*trigamma(theta[1]), -n/theta[2], sum(-1/(x-theta[3])),
                -n/theta[2],n*theta[1]/(theta[2]^2)-2/(theta[2]^3)*sum(x-theta[3]),-n/(theta[2]^2),
                sum(-1/(x-theta[3])),-n/(theta[2]^2),(theta[1]-1)*sum(-1/(x-theta[3])^2)), nrow = 3, byrow = T)
  list(f = f, J = J)
}

# 抽取随机gamma
set.seed(80)
sample = rgamma(100,2,)

# 计算gamma分布参数的矩估计作为初始值
s_m = mean(sample)
s_v = var(sample)
m_3 = (sum((sample-s_m)^3))/length(sample)
alpha = (4*(s_v)^3)/(m_3^2)
beta = m_3/(2*s_v)
lambda = s_m-2*((s_v)^2/m_3)
theta = c(alpha,beta,lambda)

Newtons(funs,sample,theta)

3.2.2Python语言实现

import numpy as np
import scipy.stats as st
import scipy.special as sp

np.random.seed(12)
sample = st.gamma.rvs(2,scale = 1,size = 50) # scipy.stats.gamma.rvs(a, loc=0, scale=1, size=1, random_state=None)
s_m = sample.mean()
s_v =sample.var()
m_3 = np.mean(((sample - s_m)**3))
alpha = (4*(s_v)**3)/(m_3**2)
beta = m_3/(2*s_v)
lambda_ = s_m-2*((s_v)**2/m_3)
theta = np.array([alpha,beta,lambda_])

def Newtons(fun,x,theta,ep=1e-5,it_max = 100):
    index = 0
    k = 1
    while k <= it_max:
        theta1 = theta
        obj = fun(x,theta)
        theta = theta - np.dot(np.linalg.inv(obj[1]),obj[0])
        norm = np.sqrt(np.sum((theta - theta1)**2))
        if norm < ep:
            index = 1
            break
        k = k+1
    obj = fun(x,theta)
    print('alpha,beta,lambda估计值为%.3f,%.3f,%.3f'%(theta[0],theta[1],theta[2]))
def funs(x,theta):
    n = len(x)
    f = np.array([-n*np.log(theta[1])-n*sp.digamma(theta[0])+np.sum(np.log(x-theta[2])),
                  -n*theta[0]/theta[1]+1/(theta[1]**2)*np.sum(x-theta[2]),
                  (theta[0]-1)*np.sum(-1.0/(x-theta[2]))+n/theta[1]])
    j = np.array([[-n*sp.polygamma(1,theta[0]),-n/theta[1],np.sum(-1/(x-theta[2]))],
                  [-n/theta[1],n*theta[0]/(theta[1]**2)-2/(theta[1]**3)*np.sum(x-theta[2]),-n/(theta[1]**2)],
                  [np.sum(-1/(x-theta[2])),-n/(theta[1]**2),(theta[0]-1)*np.sum(-1/(x-theta[2])**2)]])
    return [f,j]

Newtons(funs,sample,theta)

注意：对Gamma分布三参数的极大似然估计过程中,如果使用牛顿法,很容易出现矩阵不正定的情况从而无法得到正确解,这个时候可以使用拟牛顿法或者修正的牛顿法。

张士玉小黑屋

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