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目录
1. AVL的概念
2. AVL树的实现
2.1 AVL树的结构
2.2 AVL树的插⼊
>AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程
>平衡因⼦更新
>插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现
2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
2.3.2 右单旋
2.3.3 右单旋代码实现
2.3.4 左单旋
2.3.5 左单旋代码实现
2.3.6 左右双旋
2.3.7左右双旋代码实现
2.3.8 右左双旋
2.3.9 右左双旋代码实现
2.4 AVL树的查找
2.5 AVL树平衡检测
3. 源码
4、完结散花
1. AVL的概念
• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的 左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。
• AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962 年的论⽂《An algorithm or the organization of information》中发表了它。
• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何 结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。
• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更 好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐ 如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0
• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可 以控制在，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
2. AVL树的实现
2.1 AVL树的结构
节点的结构：
template<class K,class V>struct AVLTreeNode{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode* _parent;AVLTreeNode* _right;AVLTreeNode* _left;int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv), _parent(nullptr), _right(nullptr),_left(nullptr),_bf(0){}};树的结构：
template<class K, class V>class AVLTree{public:typedef AVLTreeNode<K,V> Node; //......private:Node* _root=nullptr;};2.2 AVL树的插⼊
>AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程
1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新 从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可 以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树 的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束
>平衡因⼦更新
更新原则：
• 平衡因⼦=右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新
更新停⽌条件：
• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会 影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
• 更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所 在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上 更新。
• 更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼ 了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：
1、把 parent⼦树旋转平衡。
2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。
>插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现
bool insert(const pair<K, V>& kv){//如果树为空，直接在根插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//树不为空，先按照搜索树规则找到插入位置Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){//插入的key小就往左走if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}//大就往右走else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else//不支持键值冗余{return false;}}//找到在parent插入的位置了cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;//不要忘记链接新增节点的parentcur->_parent = parent;//开始更新平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//_bf从1或-1到0,不会影响祖先节点if (parent->_bf == 0){break;}//_bf从0到1或-1，会影响祖先节点，继续向上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}//平衡破坏，旋转恢复平衡else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转逻辑//........break;//旋转完后，该节点的平衡因子为0，无需向上更新}else//非预想平衡因子，直接断死{assert(false);}}return true;}2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什 么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的规则即可。
2.3.2 右单旋
具象图
抽象图
2.3.3 右单旋代码实现
//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pParent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if(subLR)//如果不为空subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (pParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = pParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}2.3.4 左单旋
具象图
抽象图
2.3.5 左单旋代码实现
//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* pParent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (pParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subR;}else{pParent->_right = subR;}subR->_parent = pParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}2.3.6 左右双旋
具象图
抽象图
2.3.7左右双旋代码实现
//左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if(bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}2.3.8 右左双旋
2.3.9 右左双旋代码实现
//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}2.4 AVL树的查找
按⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)
//查找Node* find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first == key){return cur;}else if (key < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else{cur = cur->_right;}}return nullptr;}2.5 AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点 的平衡因⼦更新是否出现了问题。
//中序遍历Node* _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;_Inorder(root->_left);cout << "{" << root->_kv.first << "," << root->_kv.second << "}" << endl;_Inorder(root->_right);return root;}//计算树的高度int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}//计算节点的数量int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int CountL = _Size(root->_left);int CountR = _Size(root->_right);return CountL + CountR + 1;}//判断是否是AVL树bool _IsBalanceTree(Node* root){//空树也是AVL树if (root == nullptr)return true;int LHeight = _Height(root->_left);int RHeight = _Height(root->_right);int ret = RHeight - LHeight;if (abs(ret) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl << "高度差为：" << ret << endl;return false;}if (ret != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}#include"AVLTree.h"#include<vector>void TestRotate(){AVLTree<int, int> t;// 常规的测试⽤例 //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例 int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.insert({ e,e });}t.Inorder();cout << t.IsBalanceTree() << endl;}void TestTreeBalance(){const int N = 1000;srand((unsigned int)time(nullptr));AVLTree<int, int> t;vector<int> v;for (int i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand() + i);}for (auto e : v){t.insert({ e,e });}cout << t.Height() << endl;;cout << t.Size() << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;}int main(){//TestRotate();TestTreeBalance();return 0;}
3. 源码
#pragma once#include<assert.h>#include<iostream>using namespace std;template<class K,class V>struct AVLTreeNode{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode* _parent;AVLTreeNode* _right;AVLTreeNode* _left;int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv), _parent(nullptr), _right(nullptr),_left(nullptr),_bf(0){}};template<class K, class V>class AVLTree{public:typedef AVLTreeNode<K,V> Node;//插入bool insert(const pair<K, V>& kv){//如果树为空，直接在根插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//树不为空，先按照搜索树规则找到插入位置Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){//插入的key小就往左走if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}//大就往右走else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else//不支持键值冗余{return false;}}//找到在parent插入的位置了cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;//不要忘记链接新增节点的parentcur->_parent = parent;//开始更新平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//_bf从1或-1到0,不会影响祖先节点if (parent->_bf == 0){break;}//_bf从0到1或-1，会影响祖先节点，继续向上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}//平衡破坏，旋转恢复平衡else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转逻辑//纯粹左边高进行右单旋if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1){RotateR(parent);}//纯粹右边高进行左单旋else if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1){RotateL(parent);}//不纯粹左边高进行左右双旋else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == 1){RotateLR(parent);}//不纯粹右边高进行右左双旋else if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == -1){RotateRL(parent);}break;//旋转完后，该节点的平衡因子为0，无需向上更新}else//非预想平衡因子，直接断死{assert(false);}}return true;}//查找Node* find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first == key){return cur;}else if (key < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}else{cur = cur->_right;}}return nullptr;}//中序遍历void Inorder(){_Inorder(_root);}//计算树的高度int Height(){return _Height(_root);}//计算树的节点个数int Size(){return _Size(_root);}//判断是否是AVL树bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}private://右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* pParent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if(subLR)//如果不为空subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (pParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = pParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* pParent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (pParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subR;}else{pParent->_right = subR;}subR->_parent = pParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}//左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if(bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}//中序遍历Node* _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;_Inorder(root->_left);cout << "{" << root->_kv.first << "," << root->_kv.second << "}" << endl;_Inorder(root->_right);return root;}//计算树的高度int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}//计算节点的数量int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int CountL = _Size(root->_left);int CountR = _Size(root->_right);return CountL + CountR + 1;}//判断是否是AVL树bool _IsBalanceTree(Node* root){//空树也是AVL树if (root == nullptr)return true;int LHeight = _Height(root->_left);int RHeight = _Height(root->_right);int ret = RHeight - LHeight;if (abs(ret) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl << "高度差为：" << ret << endl;return false;}if (ret != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}private:Node* _root=nullptr;};4、完结散花
好了，这期的分享到这里就结束了~
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我们下期不见不散~~
