tip：首先笔者浅谈一下此次第三期模拟赛的难度，相比较前两期而言难度是有所减缓的，主要考察到的知识点和算法为模拟，筛质数，二维前缀和，高精度除法，线性dp，可见难度一般，相较于省赛题目强度很低，但是对于算法入门选手可以用于日常练习和锻炼。以下是笔者的看法，写下此次模拟赛题解，供大家参考，欢迎大家指正和讨论。
第一题
【问题描述】
请问 2023 有多少个约数？即有多少个正整数，使得 2023 是这个正整数的整数倍。
【注意事项】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
【解题思路】
语法题，直接模拟即可
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int ans=0;
int x; cin>>x;
for(int i=1;i<=x/i;i++)
{
if(x%i==0)
{
ans++;
if(i!=x/i) ans++;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
【正确答案】6
第二题
【问题描述】
请问有多少组整数对 l, r 满足：
1. l 和 r 都介于 0 （含）到 100 （含）之间；
2. r-l >= 10。
【注意事项】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
【解题思路】
暴力，两层for循环统计整数对个数即可。
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
int res=0;
for(int i=0;i<=100;i++)
{
for(int j=0;j<=100;j++)
{
if(j-i>=10) res++;
}
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
【正确答案】4186
第三题
【问题描述】
只能被 1 和本身整除的数称为质数。
请问在 1 （含）到 1000000 （含）中，有多少个质数的各个数位上的数字之和为 23 。
提示：599 就是这样一个质数，各个数位上的数字之和为 5+9+9=23 。
【注意事项】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
【解题思路】
此题考察筛质数，常规的方法有三种，有些方法可能会超时，对不同方法的理解大家可以移步acwing看看高手的帖子https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/319431/，本人不再过多赘述，在下面提供一种普通筛法。
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =1e6+10;
int primes[N],cnt,ans;//primes[]存储所有素数
bool st[N];//st[x]储存的x是否被筛选掉
int get_primes(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(st[i]) continue;
primes[cnt++]=i;//把素数存起来
for(int j=i;j<=n;j+=i) st[j]=true;
}
return primes[N];
}
int main()
{
int n=1e6;
get_primes(n);
for(int i=0;i<cnt;i++)
{
int temp=0;
int j=primes[i];
while(j>0)
{
temp+=j%10;
j/=10;
}
if(temp==23) ans++;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
【正确答案】 5503
第四题
【问题描述】
求 12345678901234567890123456789012345678901234567890 除以 2023 的余数。
【注意事项】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
【解题思路】
此题可以用好几种解法做出答案，比如巧用python直接得出答案（毕竟还是一道填空题），但如果为大题的话c++就要用到高精度除法了,但其实还可以用同余定理，就更为巧妙了，下面是思想和详细代码
同余定理
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int> div(vector<int> &A,int b,int &r)
{
vector<int> C;
r=0;
for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
{
r=r*10+A[i];
C.push_back(r/b);
r%=b;
}
reverse(C.begin(),C.end());
while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
return C;
}
int main()
{
string a;int b;int r;
cin>>a>>b;
vector<int> A,C;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
C=div(A,b,r);
for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
cout<<endl<<r<<endl;
return 0;
}
//python巧妙解法
/*a = 12345678901234567890123456789012345678901234567890
print(a%2023) */
//也可以用同余定理
/*
string s = "12345678901234567890123456789012345678901234567890";
int x{2023}, res{1};
for (int i = 1; i < s.size(); ++i) {
res = (res * 10 + s[i] - '0') % x;
}
cout << res;
可将被余数拆分成各位数的权值与其乘积的和，例如
123=((1*10+2)*10+3)
那么对其余5的过程可以写为
(((1\%5)*10+2)\%5*10+3)\%5
因此我们只需代码模拟这个过程即可。
*/
【正确答案】344
第五题
【问题描述】
对于一个 n 行 m 列的矩阵，它的一个 k 行 k 列的子矩阵是指由矩阵中的连续 k 行、连续 k 列组成的矩阵。子矩阵的和是指子矩阵中所有元素的和。现在，小蓝对于一个矩阵中的子矩阵中最大的子矩阵的和很感兴趣。
例如，对于如下 3 行 4 列的矩阵，2 行 2 列的子矩阵的和的最大值是 8，对应的子矩阵为由最后两行最后两列组成的子矩阵。
2 0 2 3
1 1 0 1
1 2 3 4
现在，小蓝有一个 30 行 20 列的大矩阵，如下所示，请问它的 5 行 5 列的子矩阵的和的最大值是多少？
9719 7515 5916 6467 7157 9614 8560 9075 2099 2838 1403 7652 6238 1699 8907 1804 5384 7942 7546 1978
8785 1944 8108 6040 2010 6646 2750 5410 4516 8757 5624 9257 9030 9290 6833 4646 9749 5304 5633 1573
8525 8244 8514 7474 7896 9731 8402 9036 1869 2688 2085 1667 7753 8466 4911 3812 8585 8319 4020 7350
1949 9120 4424 4057 8277 4511 6333 1533 7624 8932 1053 8682 9284 4134 1466 3607 8753 5310 3728 4163
9420 9185 7055 2342 4143 4499 2036 5374 7026 8638 8866 8364 1706 8767 1601 8309 5695 8179 4142 8489
5876 5660 4658 8307 2582 7544 8793 8207 3979 1692 1400 1893 4500 6389 7198 4836 4761 6603 2859 1312
6367 4174 9956 6668 6771 4795 6492 3937 7096 8041 8644 9379 8071 8667 5810 5794 8147 3823 7877 4822
4809 3297 8518 4972 9754 6854 3271 7891 8882 1052 3197 6035 5628 7674 7931 8085 8970 7733 4745 8785
7536 1511 6964 4763 5409 7032 8963 8576 3411 5853 3316 1267 7851 2735 6953 2970 1810 6830 5576 6903
2241 1575 2379 4679 9519 9290 4802 1562 3509 8365 6777 5143 5610 1061 7880 1935 5793 7023 5629 9571
2480 5937 4612 8890 1964 8532 3309 9737 8507 1849 8544 1500 9282 6288 2137 4730 4239 3473 4643 6377
7341 2881 3430 5815 1972 6629 3817 4547 7561 4779 6578 6114 4972 5505 7515 1800 4784 2272 4502 7541
7665 8607 2022 8192 2605 1346 4155 8725 8167 7022 6136 3615 6057 6329 8671 2033 3151 2249 5981 6412
9046 3353 8650 6965 4179 1248 5659 5219 8083 5615 3821 4436 9217 7356 3914 5717 3734 3765 4435 7210
8951 5013 2951 7401 2329 5686 6530 9581 6539 6881 8634 2663 2916 3019 8529 5645 8201 9270 1939 7275
6429 1531 6322 9586 2793 7968 4001 9665 7624 4369 6245 5146 9567 6801 6064 6199 3210 6753 2586 7795
5771 8507 7973 1470 1475 6896 6781 6572 8412 8557 8255 5268 8960 7251 9214 2489 6920 9917 3810 4605
9116 7950 3715 1697 4703 2868 8673 3106 2579 1074 3992 3547 4279 3149 3396 6081 6221 1125 9358 2471
8360 1526 4116 9278 6325 5175 5533 4107 7522 7599 7711 9211 1752 2431 8321 3844 3579 1047 3987 8487
7600 2401 8748 8945 2078 1519 4614 4576 5706 4040 9358 1928 1327 6699 5258 2846 3418 8310 1249 3866
7796 8668 4087 4258 8992 8996 4617 5997 2527 8204 8927 1456 9340 2088 1605 2299 9878 8347 7789 2122
8372 1102 4243 4208 1651 7861 4947 7802 4704 6204 4455 6012 8494 9060 3747 2786 2136 1830 7424 8309
6919 4420 2031 5399 2652 7219 4048 7013 5094 5276 4225 5976 4157 6722 8765 4679 1604 4986 5033 2623
4015 2297 3067 6261 6623 4577 4589 4747 6659 7667 7853 4040 6393 9606 7219 9334 1316 3430 9963 5187
4998 3735 9884 2990 1374 8436 6674 3018 5714 9352 8708 8789 7879 2965 1444 4671 4743 9817 6066 8057
6996 9609 2884 4601 7287 3432 4145 8858 6857 8624 4531 6579 1615 2894 4521 3274 5237 1093 3317 9289
7117 1850 3210 8010 2512 1394 4718 9332 5593 4118 4995 3994 5063 9426 1709 5128 4997 9287 1907 9068
4258 7328 6490 2603 5333 5093 8070 2116 8489 1994 7098 7409 1463 4268 9509 2358 1192 2460 5031 6292
4911 1192 1012 2494 5276 8981 3540 3306 8869 6678 7879 7526 8847 6270 7653 3109 6955 9760 8520 8673
6328 7277 7818 3285 9398 4929 4639 1617 4023 1051 9320 4955 6580 6481 3824 9611 2863 6492 6281 6203
【注意事项】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
【解题思路】
二维前缀和，母题为二维前缀和
【c++代码实现】
#include<iostream>
using namespace std;
int x, res;
int sum[40] [40];
int main()
{
for (int i = 1; i <= 30; ++i) {
for (int j = 1; j <= 20; ++j) {
cin >> x;
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + x;
}
}
for (int i = 5; i <= 30; ++i) {
for (int j = 5; j <= 20; ++j) {
res = max(res, sum[i][j] - sum[i][j - 5] - sum[i - 5][j] + sum[i - 5][j - 5]);
}
}
cout << res<<endl;
return 0;
}
【正确答案】171248
第六题
【问题描述】
小蓝要上一个楼梯，楼梯共有 n 级台阶（即小蓝总共要走 n 级）。小蓝每一步可以走 1 级、2 级或 3 级台阶。
请问小蓝至少要多少步才能上到楼梯顶端？
【输入格式】
输入一行包含一个整数 n 。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
9
【样例输出】
3
【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例，1 <= n <= 10000 。
【解题思路】
思维题，想明白了就行。
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
int res=n/3;
if(n%3!=0) res++;
cout<<res;
}
第七题
【问题描述】
给定一个仅包含数字字符的字符串，请统计一下这个字符串中出现了多少个值为奇数的数位。
【输入格式】
输入一行包含一个字符串，仅由数字字符组成。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
111222333111222333111222333
【样例输出】
18
【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例，1 <= 字符数量 <= 10000 。
【解题思路】
模拟题，逐位判断是否为奇数。
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int ans;
int main()
{
string str;
cin>>str;
for(int i=0;i<str.size();i++)
{
if(str[i]%2==1) ans++;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
第八题
【问题描述】
对于一个序列 a[1], a[2], …, a[n]，如果 a[i] 满足 a[i]<a[i-1] 且 a[i]<a[i+1]，则称 a[i] 是一个极小值，如果如果 a[i] 满足 a[i]>a[i-1] 且 a[i]>a[i+1]，则称 a[i] 是一个极大值。
给定一个序列，请找到极小值中最大的和极大值中最小的。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n ，表示序列的长度。
第二行包含 n 个整数，相邻的整数之间使用一个空格分隔，表示给定的序列。
【输出格式】
输出一行包含两个整数，用一个空格分隔，分别表示极小值中最大的和极大值中最小的。输入保证至少存在一个极小值，至少存在一个极大值。
【样例输入】
8
1 8 2 4 4 3 5 3
【样例输出】
3 5
【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= a[i] <= 10000。
【解题思路】
模拟题。
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
int n;cin>>n;
int b=INT_MIN;int c=INT_MAX;
vector<int> a(n);
for(auto &x:a) cin>>x;
for(int i=1;i<n;i++)
{
if(a[i]<a[i-1]&&a[i]<a[i+1]&&a[i]>b) b=a[i];
if(a[i]>a[i-1]&&a[i]>a[i+1]&&a[i]<c) c=a[i];
}
cout<<b<<" "<<c<<endl;
return 0;
}
第九题
【问题描述】
对于一个字符矩阵，其中的一些字符构成字母 Y 是指存在一个中间字符，从这个中间字符向下、向左上（45度）、向右上（45度）的字符都与中间的字符相同。
字母 Y 的长度指同时向 3 个方向的相同字母延伸的最大距离。
例如，下图中所有的 1 组成一个字母 Y，长度为 3。
又如，下图中以第 5 行第 6 列为中心也构成一个字母 Y （由字符 A 构成），长度为 1 。
再如，下图中以第 4 行第 3 列为中心也构成一个字母 Y （由字符 0 构成），长度为 2 。
1000001
0100010
0010100
0001AAA
00010A0
00010A0
00010A0
给定一个字符矩阵，请找出能构成字母 Y 的最大长度，如果无法构成字母 Y，请输出 0 。
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 n, m ，用一个空格分隔，表示字符矩阵的行数和列数。
接下来 n 行，每行包含 m 个字符，表示字符矩阵。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
7 7
1000001
0100010
0010100
0001AAA
00010A0
00010A0
00010A0
【样例输出】
3
【评测用例规模与约定】
对于50%的评测用例，1 <= n, m <= 100。
对于所有评测用例，1 <= n, m <= 1000，字符矩阵中仅包含数字字符和大写英文字母。
【解题思路】
对除边界点以外所有点进行枚举，其实也是暴力枚举。
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<vector<char>> v(n, vector<char>(m));
for (auto &x : v) {
for (auto &e : x) cin >> e;
}
int res{};
for (int i = 1; i < n - 1; ++i) {
for (int j = 1; j < m - 1; ++j) {
int r = i, c = j, k = 1;
do {
if (v[r][c] == v[r - k][c - k] && v[r][c] == v[r - k][c + k] && v[r][c] == v[r + k][c]) ++k;
else break;
} while (r + k < n && r - k >= 0 && c + k < m && c - k >= 0);
res = max(res, k - 1);
}
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
第十题
【问题描述】
小蓝要上一个楼梯，楼梯共有 n 级台阶（即小蓝总共要走 n 级）。小蓝每一步可以走 a 级、b 级或 c 级台阶。
请问小蓝总共有多少种方案能正好走到楼梯顶端？
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n 。
第二行包含三个整数 a, b, c 。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以 1000000007 后的余数。
【样例输入】
4
1 2 3
【样例输出】
7
【评测用例规模与约定】
对于 30% 评测用例，1 <= a < b < c <= n <= 50。
对于 60% 评测用例，1 <= a < b < c <= n <= 1000。
对于所有评测用例，1 <= a < b < c <= n <= 1000000。
【解题思路】
很常见的 爬楼梯问题了，线性DP
状态定义：dp[i]表示走到第i阶台阶的方案数
状态转移：dp[i] = dp[i - a] + dp[i - b] + dp[i - c] （当 i >= a, b, c）
初始化：dp[0] = 1
这种列对状态转移方程就行。
【c++代码实现】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
int n,a,b,c;
cin>>n>>a>>b>>c;
vector<int> dp(n+1);
dp[0]=1;
for(int i=a;i<=n;i++)
{
dp[i]=(dp[i]+dp[i-a])%1000000007;
if(i>=b) dp[i]=(dp[i]+dp[i-b])%1000000007;
if(i>=c) dp[i]=(dp[i]+dp[i-c])%1000000007;
}
cout<<dp[n]<<endl;
return 0;
}