函数的连续性

函数在一点处连续：设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 有定义，且 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 。则称 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续。换句话说，如果当自变量的改变量 $\Delta x$ 趋近于零时，相应的函数值的改变量 $\Delta y$ 也趋近于零，则称 $y= f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续。

函数在一点处左连续：设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的左侧某邻域 $x_{0} - \delta < x \leqslant x_{0}$ 有定义，且 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$ ，则称 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处左连续，类似地可以定义右连续。

函数在 $(a,b)$ 内， $\left [ a,b \right ]$ 上连续：设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点处都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续。定义 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，其中在 $x=a$ 处指的是右连续， $x=b$ 处指的是左连续。

函数的间断点

第一类间断点：设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，如果 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 存在，但 $f(x_{0})$

无定义，或者虽然有定义，但与 $\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)$ 不相等，称 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的可去间断点。

设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，如果 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ 与 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 都存在，但不相等，称 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点。此时不论 $f(x_{0})$ 是否存在，存在时等于什么都无关。

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。

第二类间断点：

设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，如果 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ 与 $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ 至少有一个不存在，称 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点，第二类间断点又可细分为无穷间断点，振荡间断点等。

例如： $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处为无穷间断点； $g(x) =sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处为振荡间断点。

重要性质、定理、公式

连续函数的四则运算：设 $u(x)$ 与 $v(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，则四则运算之后所成的函数在 $x=x_{0}$ 处也连续（除法运算时要求分母不为零）。

复合函数的连续性：设 $f(u)$ 在 $u=u_{0}$ 处连续， $g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，且 $g(x_{0}) = u_{0}$ ，则复合函数 $f(g(x))$ 在 $x=x_{0}$ 处亦连续。

基本初等函数的连续性：基本初等函数在它的定义域上都是连续的。

初等函数的连续性：初等函数正它的定义域的区间内都是连续的。

闭区间上的连续函数的性质：设 $f(x)$ 在闭区间 $\left [ a,b \right ]$ 上连续，则它具有下列性质：

$f(x)$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上有界（称为有界性定理）；
$f(x)$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上有最大值与最小值(称为最值定理)；
设 $\mu$ 满足 $m\leqslant \mu \leqslant M$ ， $m$ 和 $M$ 分别为 $f(x)$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上的最小值与最大值，则至少存在一点 $\xi \in \left [ a,b \right ]$ ，使 $f(\xi )=\mu$ （称为介值定理）；（若 $\mu$ 满足 $m<\mu <M$ ，则 $\xi \in (a,b)$ 。）
设 $f(a)f(b)< 0$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ,使 $f(\xi )=0$ （称为零点定理）。