函数的连续性

函数在一点处连续：设  在  的某邻域  有定义，且 。则称 在  处连续。换句话说，如果当自变量的改变量 趋近于零时，相应的函数值的改变量  也趋近于零，则称  在点   处连续。

函数在一点处左连续：设  在  的左侧某邻域  有定义，且 ，则称 在  处左连续，类似地可以定义右连续。

函数在内， 上连续：设   在  内每一点处都连续，则称  在 内连续。定义 在  上连续，其中在  处指的是右连续， 处指的是左连续。

函数的间断点

第一类间断点：设 在 的某去心邻域内有定义，如果  存在，但 

无定义，或者虽然有定义，但与  不相等，称  为  的可去间断点。

设 在 的某去心邻域内有定义，如果  与 都存在，但不相等，称 为的跳跃间断点。此时不论 是否存在，存在时等于什么都无关。

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。

第二类间断点：

设 在  的某去心邻域内有定义，如果  与 至少有一个不存在，称 为  的第二类间断点，第二类间断点又可细分为无穷间断点，振荡间断点等。

例如： 在  处为无穷间断点； 在处为振荡间断点。

重要性质、定理、公式

连续函数的四则运算：设 与  在 处连续，则四则运算之后所成的函数在 处也连续（除法运算时要求分母不为零）。

复合函数的连续性：设 在  处连续， 在  处连续，且，则复合函数 在  处亦连续。

基本初等函数的连续性：基本初等函数在它的定义域上都是连续的。

初等函数的连续性：初等函数正它的定义域的区间内都是连续的。

闭区间上的连续函数的性质：设 在闭区间 上连续，则它具有下列性质：

1.  在 上有界（称为有界性定理）；
2.  在 上有最大值与最小值(称为最值定理)；
3. 设  满足 ，和分别为在 上的最小值与最大值，则至少存在一点，使（称为介值定理）；（若满足，则。）
4. 设，则至少存在一点  ,使（称为零点定理）。​​​​​​