梯度下降法优化问题
前言梯度下降法 正文代码实现伪代码可运行代码结果
前言
梯度下降法
梯度下降法是一种用于最小化函数的迭代优化算法。其基本思想是通过计算函数的梯度 (导数)，找到函数的最小值点。在梯度下降法中，参数（或变量）沿着负梯度的方向进行更新，以降低函数值。
以下是梯度下降法的基本描述：
选择初始点: 选择一个初始点作为优化的起始点。计算梯度: 在当前点计算函数的梯度（导数）。梯度是一个向量，包含每个变量的偏导数。更新参数：沿着负梯度的方向调整参数。这个调整的步长由一个称为学习率的正数控制，学习率决定了每次更新参数的大小。参数 ( t + 1 ) = ^{(t+1)}= (t+1)= 参数 ( t ) − η ⋅ ∇ f ( ^{(t)}-\eta \cdot \nabla f\left(\right. (t)−η⋅∇f( 参数 ( t ) ) \left.^{(t)}\right) (t))
其中 η \eta η 是学习率， ∇ f ( \nabla f\left(\right. ∇f( 参数 ( t ) ) \left.^{(t)}\right) (t)) 是函数在当前参数点的梯度。迭代: 重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件，如达到预定的迭代次数或梯度足够小。
梯度下降法的成功取决于选择合适的学习率、初始点以及停止条件。不同的变种包括随机梯度下降 (SGD) 和批量梯度下降 (BGD)，它们在计算梯度时使用不同的数据集。 SGD使用随机样本，而BGD使用整个数据集。这些变种在不同问题和数据集上表现出不同的性能。
正文
对于给出的函数 f ( x ) f(x) f(x) :
f ( x ) = x ( 1 ) 2 + x ( 2 ) 2 − 2 ⋅ x ( 1 ) ⋅ x ( 2 ) + sin ( x ( 1 ) ) + cos ( x ( 2 ) ) f(x)=x(1)^2+x(2)^2-2 \cdot x(1) \cdot x(2)+\sin (x(1))+\cos (x(2)) f(x)=x(1)2+x(2)2−2⋅x(1)⋅x(2)+sin(x(1))+cos(x(2))
计算其梯度，然后使用梯度下降法进行优化。梯度是一个向量，包含每个变量对应的偏导数。对于这个函数，梯度 ∇ f ( x ) \nabla f(x) ∇f(x) 可以通过对每个变量求偏导数得到。
∂ f ∂ x ( 1 ) = 2 ⋅ x ( 1 ) − 2 ⋅ x ( 2 ) + cos ( x ( 1 ) ) ∂ f ∂ x ( 2 ) = 2 ⋅ x ( 2 ) − 2 ⋅ x ( 1 ) − sin ( x ( 2 ) ) \begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x(1)}=2 \cdot x(1)-2 \cdot x(2)+\cos (x(1)) \\ & \frac{\partial f}{\partial x(2)}=2 \cdot x(2)-2 \cdot x(1)-\sin (x(2)) \end{aligned} ∂x(1)∂f=2⋅x(1)−2⋅x(2)+cos(x(1))∂x(2)∂f=2⋅x(2)−2⋅x(1)−sin(x(2))
然后，梯度下降法的更新规则为：
x ( t + 1 ) = x ( t ) − η ⋅ ∇ f ( x ( t ) ) x(t+1)=x(t)-\eta \cdot \nabla f(x(t)) x(t+1)=x(t)−η⋅∇f(x(t))
其中 η \eta η 是学习率，是一个控制每次参数更新步长的正数。选择一个合适的学习率，并从初始点 x ( 0 ) x(0) x(0) 开始迭代进行优化。
这是一个简单的梯度下降法的框架，可以根据具体情况调整参数和终止条件。梯度下降法有不同的变种，例如随机梯度下降 (SGD) 和批量梯度下降 (BGD)，具体的选择取决于问题的性质和数据集的大小。
代码实现
伪代码
% 定义目标函数f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) + sin(x(1)) + cos(x(2));% 定义目标函数的梯度grad_f = @(x) [2*x(1) - 2*x(2) + cos(x(1)); 2*x(2) - 2*x(1) - sin(x(2))];% 设置参数学习率 = 0.01;最大迭代次数 = 1000;容许误差 = 1e-6;% 初始化起始点x = [0; 0];% 梯度下降for 迭代次数 = 1:最大迭代次数 % 计算梯度 梯度 = grad_f(x); % 更新参数 x = x - 学习率 * 梯度; % 检查收敛性 if norm(梯度) < 容许误差 break; endend% 显示结果fprintf('最优解: x = [%f, %f]\n', x(1), x(2));fprintf('f(x)的最优值: %f\n', f(x));fprintf('迭代次数: %d\n', 迭代次数);可运行代码
% 定义目标函数f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) + sin(x(1)) + cos(x(2));% 定义目标函数的梯度grad_f = @(x) [2*x(1) - 2*x(2) + cos(x(1)); 2*x(2) - 2*x(1) - sin(x(2))];% 设置参数learning_rate = 0.01;max_iterations = 1000;tolerance = 1e-6;% 初始化起始点x = [0; 0];% 梯度下降for iteration = 1:max_iterations % 计算梯度 gradient = grad_f(x); % 更新参数 x = x - learning_rate * gradient; % 检查收敛性 if norm(gradient) < tolerance break; endend% 显示结果fprintf('Optimal solution: x = [%f, %f]\n', x(1), x(2));fprintf('Optimal value of f(x): %f\n', f(x));fprintf('Number of iterations: %d\n', iteration);结果
