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| 试题编号： | 202309-2 |
| 试题名称： | 坐标变换（其二） |
| 时间限制： | 2.0s |
| 内存限制： | 512.0MB |
| 问题描述： | 问题描述对于平面直角坐标系上的坐标 (x,y)，小 P 定义了如下两种操作： 拉伸 k 倍：横坐标 x 变为 kx，纵坐标 y 变为 ky； 旋转 θ：将坐标 (x,y) 绕坐标原点 (0,0) 逆时针旋转 θ 弧度（0≤θ<2π）。易知旋转后的横坐标为 xcosθ−ysinθ，纵坐标为 xsinθ+ycosθ。 设定好了包含 n 个操作的序列 (t1,t2,⋯,tn) 后，小 P 又定义了如下查询： i j x y：坐标 (x,y) 经过操作 ti,⋯,tj（1≤i≤j≤n）后的新坐标。对于给定的操作序列，试计算 m 个查询的结果。 输入格式从标准输入读入数据。 输入共 n+m+1 行。 输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 m，分别表示操作和查询个数。 接下来 n 行依次输入 n 个操作，每行包含空格分隔的一个整数（操作类型）和一个实数（k 或 θ），形如 1 k（表示拉伸 k 倍）或 2 θ（表示旋转 θ）。 接下来 m 行依次输入 m 个查询，每行包含空格分隔的四个整数 i、j、x 和 y，含义如前文所述。 输出格式输出到标准输出中。 输出共 m 行，每行包含空格分隔的两个实数，表示对应查询的结果。 样例输入10 5 样例输出-1858706.758 -83259.993 样例说明第五个查询仅对输入坐标使用了操作八：拉伸 0.716 倍。 横坐标：159430×0.716=114151.88 纵坐标：−511187×0.716=−366009.892 由于具体计算方式不同，程序输出结果可能与真实值有微小差异，样例输出仅保留了三位小数。 评测用例规模与约定80% 的测试数据满足：n,m≤1000； 全部的测试数据满足： n,m≤100000； 输入的坐标均为整数且绝对值不超过 1000000； 单个拉伸操作的系数 k∈[0.5,2]； 任意操作区间 ti,⋯,tj（1≤i≤j≤n）内拉伸系数 k 的乘积在 [0.001,1000] 范围内。 评分方式如果你输出的浮点数与参考结果相比，满足绝对误差不大于 0.1，则该测试点满分，否则不得分。 提示C/C++：建议使用 Python：直接使用 Java：建议使用 |
真题来源：坐标变换（其二）
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解题思路：
注意到一个操作是改变与原点的距离，一个操作是改变与xx轴所夹成的角度，如果考虑坐标在极坐标系下的表示形式，会发现这两种操作只是分别对其中一维进行操作，且这些操作是可逆的，且不会相互影响。
因此我们就预处理出 op[i]表示操作 1..i对距离 rr和角度 θ的影响，这是一个前缀和数组。
然后对于一个点问经过操作 l..r的结果，先对它施加1..r操作的影响，再消除 1..l−1操作的影响，即可得到 l..r操作的结果。
施加影响，就是长度 ×k，角度 +θ，消除影响，就是长度 /k，角度−θ。
最后根据r和 θ还原出x=rcosθ,y=rsinθ。
时间复杂度为 O(n+m)。
c++满分题解：
#include <bits/stdc++.h>using namespace std; const double pi = acos(-1); int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); int n, m; cin >> n >> m; vector<array<double, 2>> op(n); for(auto &i : op){ int opp; double k; cin >> opp >> k; if (opp == 1) i[0] = k; else{ i[0] = 1; i[1] = k; } } for(int i = 1; i < n; ++ i){ op[i][0] *= op[i - 1][0]; op[i][1] += op[i - 1][1]; } for(int i = 0; i < m; ++ i){ int l, r, x, y; cin >> l >> r >> x >> y; -- l, -- r; double R = sqrt(1ll * x * x + 1ll * y * y), theta = 0; if (x == 0){ if (y > 0) theta = pi / 2; else theta = -pi / 2; }else{ theta = atan2(y, x); } R *= op[r][0]; theta += op[r][1]; if (l){ R /= op[l - 1][0]; theta -= op[l - 1][1]; } cout << fixed << setprecision(10) << R * cos(theta) << ' ' << R * sin(theta) << '\n'; } return 0;}运行结果：
