1、使用KNN算法对两个未知类型的样本进行分类（冰川水或者湖泊水），其中K=3，即选择最近的3个邻居。（20分）
学生答案：
解：
D i s t a n c e ( G , A ) 2 = 0.1 ; D i s t a n c e ( G , B ) 2 = 0.03 ; D i s t a n c e ( G , C ) 2 = 0.11 Distance(G,A)^2=0.1; Distance(G,B)^2=0.03; Distance(G,C)^2=0.11 Distance(G,A)2=0.1;Distance(G,B)2=0.03;Distance(G,C)2=0.11
D i s t a n c e ( G , D ) 2 = 0.12 ; D i s t a n c e ( G , E ) 2 = 0.16 ; D i s t a n c e ( G , F ) 2 = 0.05 Distance(G,D)^2=0.12; Distance(G,E)^2=0.16; Distance(G,F)^2=0.05 Distance(G,D)2=0.12;Distance(G,E)2=0.16;Distance(G,F)2=0.05
G的三个最近的邻居为B,F,A，因此G的分类为冰川水
D i s t a n c e ( H , A ) 2 = 0.03 ; D i s t a n c e ( H , B ) 2 = 0.18 ; D i s t a n c e ( H , C ) 2 = 0.22 Distance(H,A)^2=0.03; Distance(H,B)^2=0.18; Distance(H,C)^2=0.22 Distance(H,A)2=0.03;Distance(H,B)2=0.18;Distance(H,C)2=0.22
D i s t a n c e ( H , D ) 2 = 0.03 ; D i s t a n c e ( H , E ) 2 = 0.21 ; D i s t a n c e ( H , F ) 2 = 0.16 Distance(H,D)^2=0.03; Distance(H,E)^2=0.21; Distance(H,F)^2=0.16 Distance(H,D)2=0.03;Distance(H,E)2=0.21;Distance(H,F)2=0.16
H的三个最近的邻居为A,D,F，因此H的分类为湖泊水
2、使用CART决策树算法对两个未知类型的样本进行分类。（使用ID3决策树算法对两个未知类型的样本进行分类。）（20分）
CART算法：
对样本集S，计算其在各个属性划分上的基尼指数。
1）
G i n i ( S , C a + 浓度 ) = 4 / 8 [ 1 − ( 2 / 4 ) 2 − ( 2 / 4 ) 2 ] + 4 / 8 [ 1 − ( 2 / 4 ) 2 − ( 2 / 4 ) 2 ] = 0.5 Gini(S,Ca+浓度)=4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)^2 ]+4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)^2 ] = 0.5 Gini(S,Ca+浓度)=4/8[1−(2/4)2−(2/4)2]+4/8[1−(2/4)2−(2/4)2]=0.5
2）
G i n i ( S , M g + 浓度 ) = 4 / 8 [ 1 − ( 3 / 4 ) 2 − ( 1 / 4 ) 2 ] + 4 / 8 [ 1 − ( 1 / 4 ) 2 − ( 3 / 4 ) 2 ] = 0.375 Gini(S,Mg+浓度)=4/8 [1-(3/4)^2-(1/4)^2 ]+4/8 [1-(1/4)^2-(3/4)^2 ] = 0.375 Gini(S,Mg+浓度)=4/8[1−(3/4)2−(1/4)2]+4/8[1−(1/4)2−(3/4)2]=0.375
3）
G i n i ( S , N a + 浓度 ) = 4 / 8 [ 1 − ( 2 / 4 ) 2 − ( 2 / 4 ) 2 ] + 4 / 8 [ 1 − ( 2 / 4 ) 2 − ( 2 / 4 ) 2 ] = 0.5 Gini(S,Na+浓度)=4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)^2 ]+4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)^2 ] = 0.5 Gini(S,Na+浓度)=4/8[1−(2/4)2−(2/4)2]+4/8[1−(2/4)2−(2/4)2]=0.5
4）
G i n i ( S , C l − 浓度 ) = 4 / 8 [ 1 − ( 2 / 4 ) 2 − ( 2 / 4 ) 2 ] + 4 / 8 [ 1 − ( 4 / 4 ) 2 ] = 0.25 Gini(S,Cl-浓度)=4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)^2 ]+4/8 [1-(4/4)^2 ] = 0.25 Gini(S,Cl−浓度)=4/8[1−(2/4)2−(2/4)2]+4/8[1−(4/4)2]=0.25
Cl-浓度属性的基尼指数最小，将Cl-浓度属性作为第一个划分属性，将集合S划分为以下两个子集：
S1(高):
S2(低)：
对样本集S1，所有样本均属于同一类型：冰川水。
对样本集S2，计算其在各个属性划分上的基尼指数：
1）
G i n i ( S 2 , C a + 浓度 ) = 2 / 6 [ 1 − ( 1 / 2 ) 2 − ( 1 / 2 ) 2 ] + 4 / 6 [ 1 − ( 2 / 4 ) 2 − ( 2 / 4 ) 2 ] = 0.5 Gini(S2,Ca+浓度)=2/6 [1-(1/2)^2-(1/2)^2 ]+4/6 [1-(2/4)^2-(2/4)^2 ] = 0.5 Gini(S2,Ca+浓度)=2/6[1−(1/2)2−(1/2)2]+4/6[1−(2/4)2−(2/4)2]=0.5
2）
G i n i ( S 2 , M g + 浓度 ) = 2 / 6 [ 1 − ( 2 / 2 ) 2 ] + 4 / 6 [ 1 − ( 3 / 4 ) 2 − ( 1 / 4 ) 2 ] = 0.25 Gini(S2,Mg+浓度)=2/6 [1-(2/2)^2 ]+4/6 [1-(3/4)^2-(1/4)^2 ] =0.25 Gini(S2,Mg+浓度)=2/6[1−(2/2)2]+4/6[1−(3/4)2−(1/4)2]=0.25
3）
G i n i ( S 2 , N a + 浓度 ) = 2 / 6 [ 1 − ( 2 / 2 ) 2 ] + 4 / 6 [ 1 − ( 2 / 4 ) 2 − ( 2 / 4 ) 2 ] = 0.333 Gini(S2,Na+浓度)=2/6 [1-(2/2)^2 ]+4/6 [1-(2/4)^2-(2/4)^2 ] =0.333 Gini(S2,Na+浓度)=2/6[1−(2/2)2]+4/6[1−(2/4)2−(2/4)2]=0.333
可以看出Gini(S2,Mg+浓度)最小，所以应该选择Mg+浓度属性作为测试属性。
Mg+浓度属性将样本集划分为两个子集:
1）S21
2）S22
对样本集S21，计算其在各个属性划分上的基尼指数：
1）
G i n i ( S 21 , C a + 浓度 ) = 2 / 3 [ 1 − ( 1 / 2 ) 2 − ( 1 / 2 ) 2 ] + 1 / 3 [ 1 − ( 1 / 1 ) 2 ] = 0.333 Gini(S21,Ca+浓度)=2/3 [1-(1/2)^2-(1/2)^2 ]+1/3 [1-(1/1)^2 ] =0.333 Gini(S21,Ca+浓度)=2/3[1−(1/2)2−(1/2)2]+1/3[1−(1/1)2]=0.333
2）
G i n i ( S 21 , N a + 浓度 ) = 2 / 3 [ 1 − ( 2 / 2 ) 2 ] + 1 / 3 [ 1 − ( 1 / 1 ) 2 ] = 0 Gini(S21,Na+浓度)=2/3 [1-(2/2)^2 ]+1/3 [1-(1/1)^2 ] =0 Gini(S21,Na+浓度)=2/3[1−(2/2)2]+1/3[1−(1/1)2]=0
可以看出Gini(S2,Na+浓度)最小，所以应该选择Na+浓度浓度属性作为测试属性。
Na+浓度属性将样本集划分为两个子集, 并且各个子集中的样本都属于同一个类型。
对样本集S22，所有样本均属于同一类型湖泊水。
决策树构造完毕，如下图所示。
图1 选择Na+浓度作为节点
由上面决策树，得第一个待识别样本类型为湖泊水；第二个待识别样本类型为冰川水。
3、如下表所示的数据集，其在二维空间中的分布情况如图1所示，用户输入ε=1，MinPts=5，采用DBSCAN算法对表中数据进行聚类。(20分)
第一类：{1,3,4,5,10}
第二类：{2,6,7,8,11}
4、已知数据集如表1所示，使用朴素Bayes算法预测气候状况为雨天，高温，湿度中等。微风时，是否适合户外运动？（20分）
表1 数据集信息
解：
即求X={下雨，高，中等，威风}的户外运动为可以的后验概率P(Y=y|X)和为不可以的后验概率P(Y=n|X)两者值中较大者为X的预测值。
根据Bayes定理，
P ( Y = y ∣ X ) = P ( X ∣ Y = y ) ∗ P ( Y = y ) = P ( x 1 ∣ Y = y ) ∗ P ( x 2 ∣ Y = y ) ∗ P ( x 3 ∣ Y = y ) ∗ P ( x 4 ∣ Y = y ) ∗ P ( Y = y ) P(Y=y|X)\\= P(X|Y=y)*P(Y=y) \\= P(x_1|Y=y)* P(x_2|Y=y)* P(x_3|Y=y)* P(x_4|Y=y)*P(Y=y) P(Y=y∣X)=P(X∣Y=y)∗P(Y=y)=P(x1∣Y=y)∗P(x2∣Y=y)∗P(x3∣Y=y)∗P(x4∣Y=y)∗P(Y=y)
这里， P ( x 1 ∣ Y = y ) = P ( x 1 = 下雨 ∣ Y = y ) = 3 / 6 P(x_1|Y=y)= P(x_1=下雨|Y=y)=3/6 P(x1∣Y=y)=P(x1=下雨∣Y=y)=3/6
P ( x 2 ∣ Y = y ) = P ( x 2 = 高 ∣ Y = y ) = 1 / 6 P(x_2|Y=y)= P(x_2=高|Y=y)=1/6 P(x2∣Y=y)=P(x2=高∣Y=y)=1/6
P ( x 3 ∣ Y = y ) = P ( x 3 = 中等 ∣ Y = y ) = 4 / 6 P(x_3|Y=y)= P(x_3=中等|Y=y)=4/6 P(x3∣Y=y)=P(x3=中等∣Y=y)=4/6
P ( x 4 ∣ Y = y ) = P ( x 4 = 微风 ∣ Y = y ) = 5 / 6 P(x_4|Y=y)= P(x_4=微风|Y=y)=5/6 P(x4∣Y=y)=P(x4=微风∣Y=y)=5/6
$P(Y=y)= 6/10 $
因此， P ( Y = y ∣ X ) = 3 / 6 ∗ 1 / 6 ∗ 4 / 6 ∗ 5 / 6 ∗ 6 / 10 = 1 / 36 P(Y=y|X)= 3/6*1/6*4/6*5/6*6/10=1/36 P(Y=y∣X)=3/6∗1/6∗4/6∗5/6∗6/10=1/36
同理，计算 P ( Y = n ∣ X ) = P ( X ∣ Y = n ) ∗ P ( Y = n ) = P ( x 1 ∣ Y = n ) ∗ P ( x 2 ∣ Y = n ) ∗ P ( x 3 ∣ Y = n ) ∗ P ( x 4 ∣ Y = n ) ∗ P ( Y = n ) P(Y=n|X)= P(X|Y=n)*P(Y=n)=P(x1|Y=n)* P(x2|Y=n)* P(x3|Y=n)* P(x4|Y=n)*P(Y=n) P(Y=n∣X)=P(X∣Y=n)∗P(Y=n)=P(x1∣Y=n)∗P(x2∣Y=n)∗P(x3∣Y=n)∗P(x4∣Y=n)∗P(Y=n)
其中，
P ( x 1 ∣ Y = n ) = P ( x 1 = 下雨 ∣ Y = n ) = 1 / 4 P(x1|Y=n)= P(x1=下雨|Y=n)=1/4 P(x1∣Y=n)=P(x1=下雨∣Y=n)=1/4
P ( x 2 ∣ Y = n ) = P ( x 2 = 高 ∣ Y = n ) = 2 / 4 P(x2|Y=n)= P(x2=高|Y=n)=2/4 P(x2∣Y=n)=P(x2=高∣Y=n)=2/4
P ( x 3 ∣ Y = n ) = P ( x 3 = 中等 ∣ Y = n ) = 1 / 4 P(x3|Y=n)= P(x3=中等|Y=n)=1/4 P(x3∣Y=n)=P(x3=中等∣Y=n)=1/4
P ( x 4 ∣ Y = n ) = P ( x 4 = 微风 ∣ Y = n ) = 2 / 4 P(x4|Y=n)= P(x4=微风|Y=n)=2/4 P(x4∣Y=n)=P(x4=微风∣Y=n)=2/4
P ( Y = n ) = 4 / 10 P(Y=n)= 4/10 P(Y=n)=4/10
因此， P ( Y = n ∣ X ) = 1 / 4 ∗ 2 / 4 ∗ 1 / 4 ∗ 2 / 4 ∗ 4 / 10 = 1 / 160 P(Y=n|X)= 1/4*2/4*1/4*2/4*4/10=1/160 P(Y=n∣X)=1/4∗2/4∗1/4∗2/4∗4/10=1/160
因为 P ( Y = y ∣ X ) > P ( Y = n ∣ X ) P(Y=y|X)> P(Y=n|X) P(Y=y∣X)>P(Y=n∣X)，故气候状况为雨天，高温，湿度中等，微风时，户外运动应为适合。
5、假如空间中的五个点{A,B,C,D,E}，各点之间的距离关系如表2所示，设初始聚类中心点为{A,B}，根据所给的数据对其运行K-中心点算法实现第一次迭代后的聚类划分结果及相应的两个中心点（K=2）。（20分）
样本点 A B C D E
A 0 1 2 3 4
B 1 0 3 5 2
C 2 3 0 1 4
D 3 5 1 0 6
E 4 2 4 6 0
根据已知条件，当两个初始中心点为{A,B}时，所得划分为{A,C,D}和{B,E}。
第一次迭代：
假定中心点{A,B}分别被非中心点{C,D,E}替换，根据K-中心点算法需要计算下列代价： T C A C TC_{AC} TCAC、 T C A D TC_{AD} TCAD、 T C A E 、 T C B C 、 T C B D 和 T C B E TC_{AE}、TC_{BC}、TC_{BD}和TC_{BE} TCAE、TCBC、TCBD和TCBE。其中 T C A C TC_{AC} TCAC表示中心点A被非中心点C代替后的总代价。下面以 T C A C TC_{AC} TCAC为例说明计算过程。
当A被C代替后，看各对象的变化情况。
A：因A离B近， C A A C = d ( A , B ) − d ( A , A ) = 1 − 0 = 1 。 C_{AAC}=d(A,B)-d(A,A)=1-0=1。 CAAC=d(A,B)−d(A,A)=1−0=1。
B：B不受影响， C B A C = 0 C_{BAC}=0 CBAC=0。
C： C C A C = d ( C , C ) − d ( C , A ) = 0 − 2 = − 2 C_{CAC}=d(C,C)-d(C,A)=0-2=-2 CCAC=d(C,C)−d(C,A)=0−2=−2。
D： C D A C = d ( D , C ) − d ( D , A ) = 1 − 3 = − 2 C_{DAC}=d(D,C)-d(D,A)=1-3=-2 CDAC=d(D,C)−d(D,A)=1−3=−2。
E： C E A C = 0 C_{EAC}=0 CEAC=0。
于是， T C A C = C A A C + C B A C + C C A C + C D A C + C E A C = 1 + 0 − 2 − 2 + 0 = − 3 TC_{AC}= C_{AAC}+ C_{BAC}+ C_{CAC} + C_{DAC}+ C_{EAC}=1+0-2-2+0=-3 TCAC=CAAC+CBAC+CCAC+CDAC+CEAC=1+0−2−2+0=−3。同理，可以计算出： T C A D = − 3 ， T C A E = 2 ， T C B C = − 1 ， T C B D = − 1 ， T C B E = − 1 TC_{AD}=-3，TC_{AE}=2，TC_{BC} =-1，TC_{BD}=-1，TC_{BE}=-1 TCAD=−3，TCAE=2，TCBC=−1，TCBD=−1，TCBE=−1。
选取最小代价，有两种选择。
选取 T C A C TC_{AC} TCAC为最小代价时，则两个中心点为{B,C}，样本被重新划分为{ A,B,E}和{C,D}两个簇。
选取 T C A D TC_{AD} TCAD为最小代价时，则两个中心点为{B,D}，样本被重新划分为{ A,B,E}和{C,D}两个簇。