这是一篇ICLR2023 top 5%论文

论文链接：https://openreview.net/pdf?id=vSVLM2j9eie
代码：https://github.com/Thinklab-SJTU/Crossformer

1. Multivariate Time Series Forecasting

MTS，多变量时序数据预测。利用MTS的历史值可以预测其未来的趋势，例如心电图（ECG），脑电图（EEG）脑磁图(MEG)的诊断以及系统监测等等都是固有的多变量问题。该任务数据每个实例序列拥有多个维度，是一个d维向量和m个观测值(时间序列)的列表，如下所示数据（借鉴自综述论文：《The great multivariate time series classification bake off: a review and experimental evaluation of recent algorithmic advances》）

2. 动机

MTS的核心额外复杂性在于，区别性特征可能存在于维度之间的相互作用中，而不仅仅存在于单个序列中的自相关性中。标准的Transformer中核心self-attention可能仅仅建模了单个序列的自相关性，忽略了跨维度的依赖关系。

此外，如下图所示，当数据序列很长时，计算复杂性高，但是可以观察到，接近的数据点具有相似的注意权重！

基于此，作者提出一个分层encoder-decoder框架Crossformer.

3. Crossformer

目标：输入一段历史序列 x 1 : T ∈ R T × D x_{1:T} \in \mathbb{R}^{T\times D} x1:T​∈RT×D，预测未来的一段序列 x T + 1 : T + τ ∈ R τ × D x_{T+1:T+\tau} \in \mathbb{R}^{\tau \times D} xT+1:T+τ​∈Rτ×D.

3.1 Hierarchical Encoder-Decoder

作者提出一个新的层次Encoder-Decoder的架构，如下所示，由左边encoder（灰色）和右边decoder（浅橘色）组成。其主要包含Dimension-Segment-Wise (DSW) embedding，Two-Stage Attention (TSA)层和Linear Projection。

Dimension-Segment-Wise (DSW) embedding：为了将输入 x 1 : T ∈ R T × D x_{1:T} \in \mathbb{R}^{T\times D} x1:T​∈RT×D进行分segment，从而减少计算复杂性。如果最后每个序列要分成 L L L个segment，每个序列 d m o d e l d_{model} dmodel​的通道数，则最后的输入记为： Z ∈ R L × D × d m o d e l Z \in \mathbb{R}^{L \times D \times d_{model}} Z∈RL×D×dmodel​.Two-Stage Attention (TSA)层：捕获cross-time和cross-dimension依赖关系。替待原来的self-attention在encoder和decoder中的位置。Linear Projection：应用于每一个decoder层的输出，以产生该层的预测。对各层预测结果进行求和，得到最终预测结果 x T + 1 ： T + τ p r e d x^{pred}_{T+1：T+\tau} xT+1：T+τpred​.

下面主要讲解DSW和TSA如何实现的！

3.2 Dimension-Segment-Wise embedding (DSW)

输入 x 1 : T ∈ R T × D x_{1:T} \in \mathbb{R}^{T\times D} x1:T​∈RT×D，表明输入包含 T T T个序列，每个序列有 D D D个维度。如下所示，如果我们分的每个segment的长度为 L s e g L_{seg} Lseg​，则每个序列中可以划分出 T L s e g \frac{T}{L_{seg}} Lseg​T​个segment，每个序列有 D D D个维度，则整个输入共包含 T L s e g × D \frac{T}{L_{seg}} \times D Lseg​T​×D个segment，故 x 1 : T x_{1:T} x1:T​可以记为： x 1 : T = { x i , d ( s ) ∣ 1 ≤ i ≤ T L s e g , 1 ≤ d ≤ D } x_{1:T}=\{x^{(s)}_{i,d}|1\le i \le \frac{T}{L_{seg}}, 1 \le d \le D \} x1:T​={xi,d(s)​∣1≤i≤Lseg​T​,1≤d≤D}。在 d d d维度中的第 i i i个segment的size记为 x i , d ( s ) ∈ R 1 × L s e g x^{(s)}_{i,d} \in \mathbb{R}^{1 \times L_{seg}} xi,d(s)​∈R1×Lseg​，然后使用线性投影和位置嵌入将每个段嵌入到一个向量中：

其中 h i , d ∈ R d m o d e l h_{i,d} \in \mathbb{R}^{d_{model}} hi,d​∈Rdmodel​， E ∈ R d m o d e l × L s e g E \in \mathbb{R}^{d_{model} \times L_{seg}} E∈Rdmodel​×Lseg​表示可学习的映射矩阵。 E i , d ( p o s ) ∈ R d m o d e l E^{(pos)}_{i,d} \in \mathbb{R}^{d_{model}} Ei,d(pos)​∈Rdmodel​表示在 ( i , d ) (i,d) (i,d)位置的可学习位置嵌入。

最后，可以获得一个2D的向量数组 H = { h i , d ∣ 1 ≤ i ≤ T L s e g , 1 ≤ d ≤ D } ∈ R T L s e g × D × d m o d e l H=\{ h_{i,d}|1 \le i \le \frac{T}{L_{seg}},1 \le d \le D \} \in \mathbb{R}^{\frac{T}{L_{seg}} \times D \times d_{model}} H={hi,d​∣1≤i≤Lseg​T​,1≤d≤D}∈RLseg​T​×D×dmodel​.

3.3 Two-Stage Attention (TSA)

由上可得输入现在为： H ∈ R T L s e g × D × d m o d e l H \in \mathbb{R}^{\frac{T}{L_{seg}} \times D \times d_{model}} H∈RLseg​T​×D×dmodel​，为了方便，记 L = T L s e g L=\frac{T}{L_{seg}} L=Lseg​T​，则输入为 H ∈ R L × D × d m o d e l H \in \mathbb{R}^{L \times D \times d_{model}} H∈RL×D×dmodel​。TSA主要由cross-time stage和
cross-dimension stage组成，如下图所示。

Cross-Time Stage
对于每个维度，包含所有时间序列。因此，对于 d d d维度 Z : , d ∈ R L × d m o d e l Z_{:,d} \in \mathbb{R}^{L \times d_{model}} Z:,d​∈RL×dmodel​上，cross-time依赖关系可记为：

其中 1 ≤ d ≤ D 1 \le d \le D 1≤d≤D，所有维度共享MSA（multi-head self-attention）.Cross-Dimension Stage
对于每个时间点，包含所有维度。因此，对于第 i i i时间点 Z i , : t i m e ∈ R D × d m o d e l Z^{time}_{i,:} \in \mathbb{R}^{D \times d_{model}} Zi,:time​∈RD×dmodel​
1）如果使用标准Transformer进行，如下图所示，可以很容易得到复杂性为 O ( D 2 ) \mathcal{O}(D^2) O(D2)！总共有 L L L个时间segment，因此总复杂性为 O ( D 2 L ) \mathcal{O}(D^2L) O(D2L).

2）作者引入router机制，每个时间点共享。如下图所示， R i , : ∈ R c × d m o d e l R_{i,:} \in \mathbb{R}^{c×d_{model}} Ri,:​∈Rc×dmodel​ ( c c c是常数)是作为路由器的可学习向量，作为第一个MSA的query.

B i , : ∈ R c × d m o d e l B_{i,:} \in \mathbb{R}^{c×d_{model}} Bi,:​∈Rc×dmodel​，作为第二个MSA的key和value.

由上可知，第一个MSA复杂性为 O ( c D L ) \mathcal{O}(cDL) O(cDL)，第二个MSA也是如此，因此，最终复杂性为 O ( 2 c D L ) \mathcal{O}(2cDL) O(2cDL)，其中 2 c 2c 2c为常量，记复杂性变为 O ( D L ) \mathcal{O}(DL) O(DL)!!

4 实验

SOTA方法对比

更多对比方法：

消融实验

参数分析

复杂性分析

可视化

运行速度对比

5. 结论

提出了Crossformer，一种基于transformer的模型，利用跨维度依赖进行多元时间序列(MTS)预测。DSW (dimension - segment - wise)嵌入：将输入数据嵌入到二维矢量数组中，以保留时间和维度信息。为了捕获嵌入式阵列的跨时间和跨维度依赖关系，设计两阶段注意(TSA)层。利用DSW嵌入和TSA层，设计了一种分层编码器(HED)来利用不同尺度的信息。

在6个数据集上的实验结果展示了该方法优于之前的先进技术。

以上仅为本人小记，有问题欢迎指出(●ˇ∀ˇ●)