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递归树
1.递归构建二进制串
2.全排列的 DFS 解法
3.全排列的 BFS 解法
4.数的划分法
5.图书推荐
递归树
递归树是一种用于分析递归算法时间复杂度的工具。它可以将递归算法的执行过程可视化，从而更好地理解算法的时间复杂度。
递归树的构造方法如下：
首先，将递归算法的输入规模表示为根节点。然后，将递归算法的每一次递归调用表示为树的一个子节点。对于每个子节点，将其表示为一个与父节点相同的问题，但是规模更小的子问题。重复上述步骤，直到递归算法的规模为 1 或者 0。递归树的叶子节点表示递归算法的基本操作，而递归树的深度表示递归算法的递归深度。通过递归树，可以很容易地计算出递归算法的时间复杂度。
以下是一个递归树的例子：
构建二进制串
这个递归树表示的是一个将一个大小为 n 的问题分成两个大小为 n/2 的子问题的递归算法。从根节点到叶子节点的路径长度为 O(log n)，因此，这个递归算法的时间复杂度为 O(n log n)。在实际应用中，递归树常常用于分析递归。
1.递归构建二进制串
public class A { public static void main(String[] args) { dg(0,""); }private static void dg(int depth, String bin) {if(depth==4) {System.out.println(bin);return ;}dg(depth+1,bin+"0");dg(depth+1,bin+"1");}}0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
修改一下:
public class A { public static void main(String[] args) { DFS(0,""); }private static void DFS(int depth, String bin) {if(depth==4) {System.out.println(bin);return ;}for (int i = 0; i <= 1; i++) {DFS(depth+1,bin+i);}}}优化：用数组存
在这个例子中，我们使用了一个静态数组arr来存储每个深度的值，当深度达到4时，我们输出这个数组。在DFS函数中，我们使用了一个for循环来遍历每个深度的可能性，即0或1，然后将其存储在数组中，并递归调用DFS函数，直到深度达到4。
public class A {public static int[] arr=new int[4]; public static void main(String[] args) { DFS(0); }private static void DFS(int depth) {if(depth==4) {System.out.println(Arrays.toString(arr));return ;}for (int i = 0; i <= 1; i++) {arr[depth]=i;DFS(depth+1);}}}结果：
[0, 0, 0, 0] [0, 0, 0, 1] [0, 0, 1, 0] [0, 0, 1, 1][0, 1, 0, 0] [0, 1, 0, 1] [0, 1, 1, 0] [0, 1, 1, 1] [1, 0, 0, 0] [1, 0, 0, 1] [1, 0, 1, 0] [1, 0, 1, 1] [1, 1, 0, 0] [1, 1, 0, 1] [1, 1, 1, 0] [1, 1, 1, 1]
2.全排列的 DFS 解法
这段代码是一个全排列的DFS解法。我们使用了递归的方式来生成所有可能的排列。初始时，我们调用DFS函数，初始深度为0，初始答案为空字符串，n为3。在DFS函数中，我们首先判断当前深度是否达到n，如果达到，则输出答案并返回。否则，我们遍历所有可能的下一位数，如果该数未被使用，则将其加入到答案中，并递归调用DFS函数，深度加1。当递归返回时，我们将该数从答案中删除，以便遍历其他可能的下一位数。下面是代码实现：
public class A { public static void main(String[] args) { DFS(0,"",3); }private static void DFS(int depth, String ans,int n) {if(depth==n) {System.out.println(ans);return ;}for (int i = 1; i <= n; i++) {if(!ans.contains(""+i))DFS(depth+1,ans+i,n);}}} 123 132 213 231 312 321
3.全排列的 BFS 解法
这段代码是一个全排列的BFS解法。我们使用了一个队列来存储每个深度的可能性，初始时，队列中包含了所有可能的第一位数。然后，我们遍历队列中的所有元素，将当前深度的可能性加入到队列中。当深度达到n时，队列中的所有元素即为所有可能的排列。
下面是代码实现：
public class A { public static void main(String[] args) { int n=3; Queue<String> q=new LinkedList<String>(); //将所有可能的第一位数加入队列中 for (int i = 1; i <= n; i++) q.offer(""+i); while(!q.isEmpty()) { String head=q.poll(); for (int i = 1; i <= n; i++) { //如果当前深度的可能性中已经包含了i，则跳过 if(head.contains(""+i)) continue; String son=head+i; //如果当前深度为n，则输出当前深度的可能性 if(son.length()==n) System.out.println(son); //否则将当前深度的可能性加入到队列中 else q.offer(son); } } }} 123 132 213 231 312 321 4.数的划分法
问题描述
将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的:
1，1，5;
1，5，1;
5，1，1;
问有多少种不同的分法。
输入格式
n，k
输出格式
一个整数，即不同的分法
样例输入
7 3
样例输出
4 {四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}
给定一个正整数n，将其拆分成k个正整数的和，求方案数。这里使用了深度优先搜索的方法，从min开始枚举每个数，递归求解。其中，fanan表示当前的方案，ans表示方案数，cnt表示调用次数。
public class A {public static int cnt;//调用次数public static int ans;//方案数 public static void main(String[] args) { int n=7;//给定的正整数 int k=3;//将其拆分成k个正整数的和 dfs(n,k,1,"");//从1开始枚举每个数 System.out.println("方案数："+ans);//输出方案数 System.out.println("调用次数："+cnt);//输出调用次数 }/** * 深度优先搜索 * @param n 给定的正整数 * @param k 将其拆分成k个正整数的和 * @param min 枚举的最小值 * @param fanan 当前的方案 */private static void dfs(int n, int k, int min, String fanan) {cnt++;//调用次数加1if(k==1 && min<=n) {//如果k=1且min<=nans++;//方案数加1System.out.println(fanan+n);//输出方案return ;}if(min*k>n) return ; //剪枝for (int i = min; i < n; i++) {//枚举每个数idfs(n-i,k-1,i,fanan+i+"+");//递归搜索}}}1+1+51+2+41+3+32+2+3方案数：4调用次数：155.图书推荐
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