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1.青蛙过河1.题目描述2.输入格式3.输出格式4.样例输入5.样例输出6.数据范围7.原题链接2.解题思路 Ac_code1.C++2.Java
1.青蛙过河
1.题目描述
小青蛙住在一条河边, 它想到河对岸的学校去学习。小青蛙打算经过河里 的石头跳到对岸。
河里的石头排成了一条直线, 小青蛙每次跳跃必须落在一块石头或者岸上。 不过, 每块石头有一个高度, 每次小青蛙从一块石头起跳, 这块石头的高度就 会下降 1 , 当石头的高度下降到 0 时小青蛙不能再跳到这块石头上（某次跳跃 后使石头高度下降到 0 是允许的）。
小青蛙一共需要去学校上 x x x 天课, 所以它需要往返 2 x 2x 2x 次。当小青蛙具有 一个跳跃能力 y y y 时, 它能跳不超过 y y y 的距离。
请问小青蛙的跳跃能力至少是多少才能用这些石头上完 x x x 次课。
2.输入格式
输入的第一行包含两个整数 n , x n,x n,x, 分别表示河的宽度和小青蛙需要去学校 的天数。请注意 2 x 2x 2x 才是实际过河的次数。
第二行包含 n − 1 n−1 n−1 个非负整数 H 1 , H 2 , ⋯ , H n − 1 H_1,H_2,⋯,H_{n-1} H1,H2,⋯,Hn−1, 其中 H i > 0 H_i>0 Hi>0表 示在河中与 小青蛙的家相距 i i i 的地方有一块高度为 H i H_i Hi 的石头,
H i = 0 H_i =0 Hi=0 表示这个位置没有石头。
3.输出格式
输出一行, 包含一个整数, 表示小青蛙需要的最低跳跃能力。
4.样例输入
5 1
1 0 1 0
5.样例输出
4
6.数据范围
1 ≤ n ≤ 1 0 5 , 1 ≤ x ≤ 1 0 9 , 1 ≤ H i ≤ 1 0 4 。 1≤n≤10^5 ,1≤x≤10^9,1≤H i ≤10^ 4 。 1≤n≤105,1≤x≤109,1≤Hi≤104。
7.原题链接
青蛙过河
2.解题思路
假设青蛙可以按照某条路线 S S S从家跳往对岸，路线 S S S上所有的石子高度均减1，这个操作等价于“青蛙从对岸按照路线 S S S反向跳回家，路线 S S S上所有的石子高度均减1”。
这也说明，判断小青蛙能否往返 2 x 2x 2x次，等价于判断小青蛙能否从左往右跳重复 2 x 2x 2x次。
由题目可以发现，设小青蛙的跳跃能力为 y y y，当小青蛙跳跃能力 y y y越大，越容易满足“重复2x次”的约束，即求解的 y y y存在单调性：
当 y y y越大时，小青蛙每次可以跳的范围更大，可以跳更少的步数到达对岸，即更容易重复 2 x 2x 2x次，当 y = n y=n y=n时，无需经过任何石子就可以跳到对岸。当 y y y越小时，小青蛙需要使用更多的步数才能到达对岸，更不容易满足“重复 2 x 2x 2x次”的约束。本题最终需要求解的是：恰好满足约束的最小的 y y y 答案存在单调性，显然可以用二分答案的算法进行求解，初始区间 [ l , r ] = [ 1 , n ] [l,r]=[1,n] [l,r]=[1,n]：
求出区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]的中点 m i d mid mid， m i d = ( l + r ) / / 2 mid=(l+r)//2 mid=(l+r)//2判断当小青蛙跳跃能力等于 m i d mid mid时，能否从左往右跳重复 2 x 2x 2x次 如果可以，则更新 a n s = m i d ans=mid ans=mid，调整搜索区间为 [ l , m i d − 1 ] [l,mid-1] [l,mid−1]（求最小值，因此调整右端点）否则，调整搜索区间为 [ m i d + 1 , r ] [mid+1,r] [mid+1,r] 如果 l > r l > r l>r，终止循环，否则回到 1 1 1二分答案将求解最值问题转换成判定性问题，问题转变成当跳跃能力等于 y y y时，判断小青蛙能否从左往右跳 2 x 2x 2x次。
小青蛙最开始位于0处，跳跃能力等于 y y y，需要重复跳跃 2 x 2x 2x次，则首先要求从 1 − y 1-y 1−y的石子高度必须大于等于 2 x 2x 2x，不然小青蛙迈出的第一步都无法重复 2 x 2x 2x次。
这个结论可以推广——“所有长度为 y y y的区间中石子高度之和必须大于等于 2 x 2x 2x”。
如果所有长度为 y y y的区间中，石子高度之和等于 2 x : 2x: 2x:则存在 H i = H i + y H_i=H_{i+y} Hi=Hi+y，则只要保证第一步在 [ 1 , y ] [1,y] [1,y]中选择一个可以跳跃的石子 i i i，则后续跳跃只需从当前位置 i i i跳到 i + y i+y i+y即可。这样可以保证重复 2 x 2x 2x次；如果所有长度为 y y y的区间中，石子高度之和大于 2 x 2x 2x：**则可以考虑去除某些石子的高度，从而构造出情况1，此时也是可以保证重复 2 x 2x 2x次的；如果可以重复跳跃 2 x 2x 2x次，所有区间长度为 y y y的区间中石子高度之和大于等于 2 x 2x 2x：对于任意区间 [ i , i + y ] [i,i+y] [i,i+y]，每次跳跃必须在区间中落脚。利用反证法，如果不在区间 [ i , i + y ] [i,i+y] [i,i+y]中落脚，等价于从 i i i的左边跳到了 i + y i+y i+y的右边，此时跳跃长度超过了能力上限 y y y，因此不合法。也就是说，每次跳跃对于任意长度等于 y y y的区间都落脚1次，重复 2 x 2x 2x次则说明该区间石子之和大于等于 2 x 2x 2x。通过上面三点可以证明：“当跳跃能力等于 y y y时重复 2 x 2x 2x次”等价于“所有区间长度等于 y y y的区间石子高度之和大于等于 2 x 2x 2x”，利用这个结论进行二分答案的判定即可。
实现过程中事先预处理前缀和，从而可以 O ( 1 ) O(1) O(1)求解区间和，时间复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)。
实际上使用双指针，维护区间和始终大于 2 x 2x 2x，得到的最小区间长度则是答案，这样可做到 O ( n ) O(n) O(n) 的复杂度。
Ac_code
1.C++
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long uLL;typedef pair<int, int> PII;#define pb(s) push_back(s);#define SZ(s) ((int)s.size());#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))#define all(s) s.begin(),s.end()const int inf = 0x3f3f3f3f;const int mod = 1000000007;const int N = 200010;LL n, x;void solve(){cin >> n >> x;std::vector<LL> s(n + 1);for (int i = 1; i < n; ++i) {cin >> s[i];s[i] += s[i - 1];}//最后一块石头，也就是终点，可以无限跳s[n] = 1e18;int l = 1, r = n;auto check = [&](int g) {for (int i = 0; i + g <= n; ++i) {int r = i + g;if (s[r] - s[i] < 2 * x) return false;}return true;};while (l < r) {int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}cout << r << '\n';}int main(){ios_base :: sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);int t = 1;while (t--){solve();}return 0;}2.Java
import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc=new Scanner(System.in); int n=sc.nextInt(); long x=sc.nextLong(); long []arr=new long[n+1]; for (int i=1;i<n;i++){ arr[i]=sc.nextLong()+arr[i-1]; } arr[n]=100000000000L; int l=0; int ans=0; for (int r=1;r<=n;r++){ if (arr[r]-arr[l]>= 2*x){ ans=Math.max(ans,r-l); l+=1; } } System.out.println(ans); }}