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1.迷宫1.问题描述2.输入格式3.输出格式4.样例输入5.样例输出6.样例解释7.数据范围8.原文链接 2.解题思路AC_code

1.迷宫

1.问题描述

  这天, 小明在玩迷宫游戏。

  迷宫为一个 n × n n \times n n×n 的网格图, 小明可以在格子中移动, 左上角为 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1), 右 下角 ( n , n ) (n, n) (n,n) 为终点。迷宫中除了可以向上下左右四个方向移动一格以外, 还有 m m m 个双向传送门可以使用, 传送门可以连接两个任意格子。

  假如小明处在格子 ( x 1 , y 1 ) \left(x_{1}, y_{1}\right) (x1​,y1​), 同时有一个传送门连接了格子 ( x 1 , y 1 ) \left(x_{1}, y_{1}\right) (x1​,y1​) 和 ( x 2 , y 2 ) \left(x_{2}, y_{2}\right) (x2​,y2​), 那么小明既可以花费 1 的步数向上下左右四个方向之一走一格 (不能 越过边界), 也可以花费 1 的步数通过传送门走到格子 ( x 2 , y 2 ) \left(x_{2}, y_{2}\right) (x2​,y2​) 去。

  而对于同一个迷宫, 小明每次进入的初始格子是在这 n × n n \times n n×n 个格子中均匀随 机的 (当然运气好可以直接随机到终点), 他想知道从初始格子走到终点的最短 步数的期望值是多少。

2.输入格式

输入共 1 + m 1+m 1+m 行, 第一行为两个正整数 n , m n, m n,m 。

后面 m m m 行, 每行四个正整数 x i 1 , y i 1 , x i 2 , y i 2 x_{i 1}, y_{i 1}, x_{i 2}, y_{i 2} xi1​,yi1​,xi2​,yi2​表示第 i i i 个传送门连接的两个格 子坐标。

3.输出格式

输出共一行, 一个浮点数表示答案 (请保留两位小数)。

4.样例输入

2 1
1 1 2 2

5.样例输出

0.75

6.样例解释

由于传送门的存在, 从 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 出发到终点 ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2) 只需要一步; 而从 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) 和 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1) 出发也只需要向下/右走一步; 从 ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2) 出发需要 0 步。所以步数期望为 1 + 1 + 1 + 0 2 × 2 = 0.75 \frac{1+1+1+0}{2 \times 2}=0.75 2×21+1+1+0​=0.75

7.数据范围

n , m ≤ 2000 ; x i 1 , y i 1 , x i 2 , y i 2 ≤ n n, m \leq 2000 ; x_{i 1}, y_{i 1}, x_{i 2}, y_{i 2} \leq n n,m≤2000;xi1​,yi1​,xi2​,yi2​≤n 。

8.原文链接

迷宫

2.解题思路

  可能有些同学刚开始并不知道期望该如何去求，但其实样例已经给了我们很明确的解释。期望等于每个点到终点的最短路径之和，再除以格子的总数。
  那么很明显这个问题是需要我们求出所有点到终点的距离之和，所以我们反向思考，使用 B F S BFS BFS以终点为起点跑遍整个地图,每次到一个新的位置时，此时到达的步数就是从终点到该点的最短步数，反过来也是从该点到终点的最短步数。为什么一定会是最短呢？因为 B F S BFS BFS自带最短路效应。
  当然题目不仅是可以上下左右走的，也可以使用魔法传送门，所以我们也需要去记录有哪些传送门。这里需要注意的是，一个位置可能不止一扇传送门。虽然样例只有一扇，但我们需要多加考虑，题目并未说明每个位置最多只有一扇传送门，这是一个该题最容易被忽略的地方。
  讲一下代码细节：题意的左上角坐标是从 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)开始，我将其更改为 [ 0 , 0 ] [0,0] [0,0]，为了方便使用整数映射二维坐标，这是一个常用的技巧。其余代码则为朴素的 B F S BFS BFS模板。

AC_code

import java.util.*;public class Main {    static int N=2010;    static Map<Integer,List<int[]>> map=new HashMap<>();    static boolean[][] st=new boolean[N][N];    static int[] dx={0,0,-1,1};    static int[] dy={1,-1,0,0};    static int n,m;    public static void main(String[] args) {        Scanner sc=new Scanner(System.in);        n=sc.nextInt();        m=sc.nextInt();        for (int i = 0; i < m; i++) {            int x1=sc.nextInt()-1;            int y1=sc.nextInt()-1;            int x2=sc.nextInt()-1;            int y2=sc.nextInt()-1;            add(x1,y1,x2,y2);            add(x2,y2,x1,y1);        }        Queue<int[]> queue=new LinkedList<>();        queue.offer(new int[]{n-1,n-1});        st[n-1][n-1]=true;        //累计答案        int ans=0;        //计算层数        int x=0;        while (!queue.isEmpty()){            int size=queue.size();            while (size-->0){                int[] curr=queue.poll();                int a=curr[0],b=curr[1];                //累加答案                ans+=x;                if (map.containsKey(a*n+b)){                    List<int[]> list=map.get(a*n+b);                    for (int[] g:list){                        if (!st[g[0]][g[1]]){                            queue.offer(g);                            st[g[0]][g[1]]=true;                        }                    }                }                for (int i = 0; i < 4; i++) {                    int newX=a+dx[i];                    int newY=b+dy[i];                    if (newX>=0&&newX<n&&newY>=0&&newY<n&&!st[newX][newY]){                        queue.offer(new int[]{newX,newY});                        st[newX][newY]=true;                    }                }            }            x++;        }        System.out.printf("%.2f",ans*1.0/(n*n));    }    static void add(int x1,int y1,int x2,int y2){        if (!map.containsKey(x1*n+y1)) map.put(x1*n+y1,new ArrayList<>());        map.get(x1*n+y1).add(new int[]{x2,y2});    }}