目录

1. 树形结构

1.1 树的概念

1.2 树的表示形式（简单了解）

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

2.2 两种特殊的二叉树

2.3 二叉树的性质（重点，选择题常考）

2.4 二叉树的链式存储

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前提说明

2.5.2 二叉树的遍历

2.5.3 二叉树基本操作的实现（重点）

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1. 树形结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n个(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它的形状像一颗倒挂的树，根在上，叶在下。

特点：

· 有一个特殊的结点称为根节点，根节点没有前驱结点

· 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1,T2,.....,Tm，其中每一个集合又是一颗与树类似的字树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以没有或者多个后继

· 树是递归定义的

注意：在树形结构中，子树不能有交集，否则就不是树形结构

重要概念：

结点的度：一个结点含有子树的个数

树的度：所有结点的度的最大值称为树的度

叶子结点或终端结点：度为0的结点

双亲结点或父亲结点：若一个结点含有子节点，则这个结点为其子结点的双亲结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点

根结点：树中没有双亲结点的结点

结点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推

树的高度或深度：树中结点层次的最大值

森林：由m(m>0)棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2 树的表示形式（简单了解）

树的结构相对于线性表比较复杂，要存储起来也比较麻烦，这里有几种表示方法：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等，这里只简单了解最常用的孩子兄弟表示法。

class Node{
    int val;          //存储的数据
    Node firstChild;  // 第一个孩子引用,一般称之为左结点，Node left
    Node nextBrother;   //下一个兄弟引用,一般称之为右结点，Node right
}

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 为空

2. 由一个结点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成

从图中可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

这里展示一张照片---大自然的奇观：现实中的二叉树

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树：一颗二叉树，如果每层的节点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树

2.完全二叉树：它是一种效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树引出来的。对于深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树，满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3 二叉树的性质（重点，选择题常考）

1. 规定根结点的层数是1，则一颗非空二叉树的第i层上最多2^(i-1)个结点

2. 规定只有根结点的二叉树深度为1，则深度为k的二叉树的最大结点数是2^k - 1

3. 对于任何一颗二叉树，如果其叶结点个数为n0，度为2的结点个数为n2，则n0=n2+1

4. 具有n个结点的二叉树的深度为log2(n+1)向上 取整 ，

5. 对于有n个结点的完全二叉树，如果按照从左至右，从上往下的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

· 若i>0，双亲序号：2i+1；i=0，i为根节点编号，无双亲结点

· 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

· 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的结点引用起来的，常见的表示方法有二叉和三叉表示方式，具体如下：

//孩子表示法
class Node{
    int val;          //数据域
    Node left;        //左孩子的引用 
    Node right;       //右孩子引用
}
//孩子双亲表示法
class Node{
    int val;
    Node left;
    Node right;
    Node parent;     //当前结点的根结点
}

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前提说明

从图结合概念可以看出，二叉树是递归定义的，后面基本操作都是按照该概念实现的 

我们需要先创建一颗二叉树，这里手动快速创建一颗简单的二叉树：

public class MyTreeBlog {
    public class BTNode{
        int val;
        BTNode left;
        BTNode right;
        public BTNode(int val){
            this.val = val;
        }
    }
    private BTNode root;
    public void createBinaryTree(){
        BTNode node1 = new BTNode(1);
        BTNode node2 = new BTNode(2);
        BTNode node3 = new BTNode(3);
        BTNode node4 = new BTNode(4);
        BTNode node5 = new BTNode(5);
        BTNode node6 = new BTNode(6);
        root = node1;
        node1.left = node2;
        node1.right = node4;
        node2.left = node3;
        node4.left = node5;
        node4.right = node6;
    }
}

注意：上述代码不是创建二叉树的方式，创建二叉树后面会介绍

2.5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历 

遍历就是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问，访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题（比如：打印结点内容），遍历是二叉树最重要的操作之一，是二叉树上进行其他运算的基础。

N代表根结点，L代表根结点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下几种遍历方式：

NLR：前序遍历：根节点---根的左子树---根的右子树

LNR：中序遍历：根的左子树---根结点---根的右子树

LRN：后序遍历：根的左子树---根的右子树---根结点 

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 2 5 6 4 1 

2. 层序遍历

除了上述三种遍历，还可以对二叉树进行层序遍历。根节点所在的层数为第一层，自上到下，自左到右，逐层访问树的结点的过程就是层序遍历 

2.5.3 二叉树基本操作的实现（重点）

1. 二叉树的前中后序遍历：采用递归的方式遍历

 public void preOrder(BTNode root){
        if(root!=null){
            System.out.print(root.val+" ");//遍历根
            preOrder(root.left);       //递归遍历左子树
            preOrder(root.right);      //递归遍历右子树
        }
    }
    public void inOrder(BTNode root){
        if(root!=null){
            inOrder(root.left);     //递归遍历左子树
            System.out.print(root.val+" ");//遍历根
            inOrder(root.right);    //递归遍历右子树
        }
    }
    public void postOrder(BTNode root){
        if(root!=null){
            postOrder(root.left);     //递归遍历左子树
            postOrder(root.right);    //递归遍历右子树
            System.out.print(root.val+" ");//遍历根
        }
    }

2. 二叉树的层序遍历：这里需要借助队列完成

 public void levelOrder(BTNode root){
        if(root==null){
            return;      //根为空直接返回
        }
        Queue<BTNode> q = new LinkedList<>();
        q.offer(root);    //先将根入队列    
        while(!q.isEmpty()){      //队列不为空时，循环
            BTNode cur = q.poll();   //根出队列
            System.out.print(cur.val+" ");
            if(cur.left!=null){     //根有左子树，将左子树的根入队列
                q.offer(root.left);
            }
            if(cur.right!=null){    //根有右子树，将右子树的根入队列
                q.offer(root.right);
            }
        }
        System.out.println();
    }

图解：图比较丑，但是能说明情况

3. 获取二叉树中结点的个数

二叉树结点的个数=根的左子树结点的个数+根的右子树结点的个数+1（这个1就是根），所以直接一个递归就解决问题了

 public int size(BTNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        return 1+size(root.left)+size(root.right);
    }

4. 获取二叉树中叶子结点的个数

叶子结点就是该结点的左子树为空，右子树为空，所以当遇到此节点时返回1，递归返回所有该结点的总数

public int getLeafNode(BTNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            return 1;
        }
        return getLeafNode(root.left)+getLeafNode(root.right);
    }

5. 获取二叉树中第k层结点的个数

 public int getLevelNode(BTNode root,int k){
        if(root==null||k<0){  //判断参数
            return 0;
        }
        if(k==1){        //如果k==1，则只有根返回1
            return 1;
        }
        //递归
        return getLevelNode(root.left,k-1) + getLevelNode(root.right,k-1);
    }

6. 获取二叉树的高度

将此二叉树的左子树的高度与右子树的高度进行比较，较大的高度+1就是此二叉树的高度

 public int height(BTNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        int leftHeight = height(root.left);
        int rightHeight = height(root.right);
        return (Math.max(leftHeight,rightHeight)+1);
    }

7. 查找值为val的结点并返回

先递归在左子树中找，再递归在右子树中找 

public BTNode find(BTNode root,int val){
        if(root==null){
            return null;
        }
        if(root.val == val){
            return root;
        }
        BTNode ret = find(root.left,val); //递归在左子树中找
        if(ret!=null){
            return ret;     //找到了返回
        }
        return find(root.right,val);   //递归在右子树中找
    }

8. 判断一棵树是否为完全二叉树（重点，常考）

当某个结点是叶子结点时，此结点必须没有左右子树，如果有则返回false；当某个结点是其父类左子树的根且该结点只有左子树时，该结点同一层的另一个结点必须没有子树，否则返回为false

第一种情况好理解，这里将第二种情况进行画图说明：

注意：当遇到上述两种情况时，必须得进行特殊检测

检测的方法：当满足上面两种情况时，待检测的结点有左子树或者右子树其中的一个子树则返回false（结合上图更容易理解）

 public boolean isCompleteTree(BTNode root){
        if(root==null){
            return true;    //空树也是完全二叉树
        }
        Queue<BTNode> q = new LinkedList<>();
        boolean flag = false;   //给的标记，检测上述两种情况
        q.offer(root);
        while(!q.isEmpty()){
            BTNode cur = q.poll();
            if(flag){          //如果遇到上述两种情况，则进行左右子树的检测
                if(cur.left!=null||cur.right!=null){
                    return false;
                }
            }else{
                if(cur.left!=null&&cur.right!=null){
                    q.offer(cur.left);
                    q.offer(cur.right);
                }
                if(cur.left!=null){
                    q.offer(cur.left);
                    flag = true;      //对应上述的第二种情况
                }
                if(cur.right!=null){
                    return false;
                }
                else{
                    flag = true;      //对应上述的第一种情况
                }
            }
        }
        return true;
    }