1 误差理论的基本概念

序号	概念	含义
1	测量	以确定被测量为目标而进行的一组操作，是把未知被测量与已知标准量进行比对的过程
2	测量值(示值或读数)	由测量器具或检测仪器指示或显示的被测参量数值，包括数值和单位
3	真值	一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值
4	测量误差	实际测量中由于测量器具不准确、测量手段不完善、各种环境或人为因素等导致的测量值与真值的偏差，有两种表示方法：绝对测量误差 ；相对测量误差
5	约定真值	由国际协议、国家标准测量的某物理量值，一般可代替真值，如标准重力加速度、基准米等
6	相对真值	由于无法直接和国家标准比对(如严格定义的基准米长度)，在量值传递中，当高一级标准仪器的测量误差仅为低一级的1/3及以下时，可认为高一级标准仪器的测量值为低一级的相对真值
7	标称值	计量或测量器具上标定的数值。由于制造、测量精度不足及环境等因素的影响，标称值并非真值，因此给出标称值的同时还要标出误差范围或准确度等级
8	多次测量	在相同条件下，用同一测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。通常要求较高精密测量都须进行多次测量，如仪表的比对、校准等
9	精密度	表征测量仪器输出值的分散性
10	准确度	表征测量仪器输出值与真值的偏离程度
11	精度(精确度)	加权综合考量精密度与准确度

只要存在测量，就必然存在测量误差——测量误差不能完全消除，因此误差理论的目标就是在给定精度范围内尽可能减小测量误差。测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差三种，下面将分别讨论其产生原因和消除方法。

2 误差的类型

2.1 随机误差

在相同条件下，用同一测量仪器对同一被测量进行多次重复测量，测量误差中绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差分量，称为随机误差或偶然误差，定量表示为
ε r i = x i − E x \varepsilon _{ri}=x_i-E_x εri​=xi​−Ex​

其中 E x = lim ⁡ n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n x i E_x=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} Ex​=n→∞lim​n1​∑i=1n​xi​为观测值数学期望。

随机误差服从正态分布，一般可认为 ε r i   N ( 0 , σ 2 ) \varepsilon _{ri} ~ N\left( 0,\sigma ^2 \right) εri​ N(0,σ2)，因此随机误差也满足 3 σ 3\sigma 3σ原则，定义 Δ = 3 σ \varDelta =3\sigma Δ=3σ为极限误差，超过 Δ \varDelta Δ范围的可以认为属于粗大误差，予以剔除。随机误差分布的标准差 σ \sigma σ表征了测量输出的精密度，标准差 σ \sigma σ越小表明仪器测量的精密度越高，相应的随机误差也越小。

随机误差分布均值为0具有对称性，因此随机误差具有补偿性，定量表述为
lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n ε r i = lim ⁡ n → ∞ ( ∑ i = 1 n x i − n E x ) = 0 \underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sum_{i=1}^n{\varepsilon _{ri}}=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left( \sum_{i=1}^n{x_i}-nE_x \right) =0 n→∞lim​i=1∑n​εri​=n→∞lim​(i=1∑n​xi​−nEx​)=0

该式在 n n n为有限值时近似但不严格为0，且并无实际意义。

假设已剔除粗大误差，则测量值 x i = A 0 + ε + ε r i x_i=A_0+\varepsilon +\varepsilon _{ri} xi​=A0​+ε+εri​为系统真值、随机误差和系统误差的叠加，对两侧取无穷次采样的均值可得
E x = A 0 + ε E_x=A_0+\varepsilon Ex​=A0​+ε

证明可以通过增加采样次数的方式消除随机误差。

以上讨论基于理想大样本，在有限样本下不能应用数学期望，而仅能得到数学期望估计值——样本均值 x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} xˉ=n1​∑i=1n​xi​，且 x ˉ \bar{x} xˉ为服从正态分布的随机变量。此时随机误差亦为估计值，称作样本残差 v i = x i − x ˉ v_i=x_i-\bar{x} vi​=xi​−xˉ。

同样，样本残差也严格遵守补偿性
∑ i = 1 n v i = ∑ i = 1 n x i − n x ˉ = 0 \sum_{i=1}^n{v_i}=\sum_{i=1}^n{x_i}-n\bar{x}=0 i=1∑n​vi​=i=1∑n​xi​−nxˉ=0

在有限样本下造成统计数据自由度降低，需要使用贝塞尔公式修正样本标准差为
σ ^ = 1 n − 1 ∑ i = 1 n v i 2 \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{v_{i}^{2}}} σ^=n−11​i=1∑n​vi2​ ​

可以证明，样本均值标准差的最佳估计值为
σ ^ x ˉ = σ ^ n \hat{\sigma}_{\bar{x}}=\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} σ^xˉ​=n ​σ^​

σ ^ x ˉ \hat{\sigma}_{\bar{x}} σ^xˉ​作为精密度 σ \sigma σ的最佳估计值，即 E x = x ˉ ± 3 σ ^ x ˉ E_x=\bar{x}\pm 3\hat{\sigma}_{\bar{x}} Ex​=xˉ±3σ^xˉ​，若进一步消除系统误差，则真值 A 0 = x ˉ ± 3 σ ^ x ˉ A_0=\bar{x}\pm 3\hat{\sigma}_{\bar{x}} A0​=xˉ±3σ^xˉ​。

当采样数 n n n不断增大时，样本标准差趋于0，即观测数据在样本均值两侧分布越来越均匀；同时样本均值标准差也趋于0，即观测数据的均值越来越趋于真实的数学期望(消除系统误差后也就越来越趋于真值)，如图所示。

随机误差产生的主要原因有：① 测量装置方面——仪器噪声、零部件摩擦、接触不良等；② 环境方面：温度等环境参数波动、电源电压的无规则波动、电磁干扰、振动等；③ 测量人员感官的无规则变化造成的读数不稳等。

2.2 系统误差

在相同条件下，用同一测量仪器对同一被测量进行多次重复测量，测量误差中绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差分量，称为系统误差，定量表示为
ε = E x − A 0 \varepsilon =E_x-A_0 ε=Ex​−A0​

例如仪器的刻度误差和零位误差。

系统误差总是存在且不能通过多次测量取平均的方式消除，当系统误差较小时可以忽略其影响，即 E x ≈ A 0 E_x\approx A_0 Ex​≈A0​。系统误差主要分为累进型和周期型如图所示。

总系统误差可忽略不计的准则是：残差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。

系统误差产生的主要原因是：仪器制造、安装或使用方法不正确，环境因素(温度、湿度、电源等)影响等。

消除系统误差应尽可能避免上述导致系统误差的诱因。对于无法克服的系统误差，可采用修正方法对测量结果进行补偿，修正曲线可以通过具体的误差原理得出，也可通过数值方法拟合。由于修正值本身也有误差，所以测量结果经修正后更接近真值但仍非真值。

2.3 粗大误差(野差)

在相同条件下，用同一测量仪器对同一被测量进行多次重复测量，测量误差中明显离群的误差分量，称为粗大误差，记为 ε e \varepsilon _e εe​。

粗大误差出现的概率很小，可按下面方法判断测量值是否为粗大误差。

(一) 莱特准则

本质上是 3 σ 3\sigma 3σ原则，若 ∣ v i ∣ > 3 σ ^ \left| v_i \right|>3\hat{\sigma} ∣vi​∣>3σ^，则认为 v i v_i vi​为粗大误差，予以剔除。

(二) 格拉布斯准则

若 ∣ v i ∣ > g σ ^ \left| v_i \right|>g\hat{\sigma} ∣vi​∣>gσ^，则认为 v i v_i vi​为粗大误差，予以剔除。 g g g由实验次数和置信度确定。

粗大误差产生原因有：① 测量人员的主观原因——操作失误或错误记录；② 客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。

3 误差的合成

剔除粗大误差后，测量误差可表示为
δ = ε ± e ± Δ \delta =\varepsilon \pm e\pm \varDelta δ=ε±e±Δ

其中 ε \varepsilon ε为已定系统误差， e e e为未定系统误差， Δ \varDelta Δ为随机误差的极限误差。

已定系统误差，指系统误差中大小、方向和变化规律可以完全掌握的误差分量。已定系统误差的合成采用代数方法，即
ε = ∑ i = 1 n ε i \varepsilon =\sum_{i=1}^n{\varepsilon _i} ε=i=1∑n​εi​

由于可对已定系统误差进行直接修正，一般最后测量结果不应含有已定系统误差分量。

未定系统误差，指系统误差中不可预测或难以掌握的误差分量。通常未定系统误差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围，其合成采用
{ L 1 合成： ε = ± ∑ i = 1 m ∣ ε i ∣    , m < 10 L 2 合成： ε = ± ∑ i = 1 m ε i 2 , m > 10 \begin{cases} L_1\text{合成：}\varepsilon =\pm \sum_{i=1}^m{\left| \varepsilon _i \right|}\,\, , m<10\\ L_2\text{合成：}\varepsilon =\pm \sqrt{\sum_{i=1}^m{\varepsilon _{i}^{2}}}, m>10\\\end{cases} {L1​合成：ε=±∑i=1m​∣εi​∣,m<10L2​合成：ε=±∑i=1m​εi2​ ​,m>10​

随机误差的合成采用 L 2 L_2 L2​范数合成，即

σ = ∑ i = 1 m σ i 2 ⇔ Δ = ∑ i = 1 m Δ i 2 \sigma =\sqrt{\sum_{i=1}^m{\sigma _{i}^{2}}}\Leftrightarrow \varDelta =\sqrt{\sum_{i=1}^m{\varDelta _{i}^{2}}} σ=i=1∑m​σi2​ ​⇔Δ=i=1∑m​Δi2​ ​

4 误差的传递

有些物理量无法直接测量而采用间接测量推算法，例如串联电阻值、板材硬度值等，用 y = f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) y=f\left( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right) y=f(x1​,x2​,⋯,xn​)描述。已知间接测量函数关系及各个测量值误差，可以计算间接被测量的误差。更进一步，可以根据各个直接测量量对间接误差的影响，确定最佳测量条件，使间接误差达到最小。

将多元函数泰勒展开并略去高阶项可得绝对误差
Δ y = ∑ i = 1 m ∂ f ∂ x i Δ x i \varDelta y=\sum_{i=1}^m{\frac{\partial f}{\partial x_i}\varDelta x_i} Δy=i=1∑m​∂xi​∂f​Δxi​

以及相对误差
γ y = Δ y y = ∑ i = 1 m ∂ f ∂ x i Δ x i y \gamma _y=\frac{\varDelta y}{y}=\sum_{i=1}^m{\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\varDelta x_i}{y}} γy​=yΔy​=i=1∑m​∂xi​∂f​yΔxi​​

对直接测量量的已定分量可按上式计算间接测量量的绝对误差和相对误差，未定分量和随机分量则按误差合成公式计算。

5 误差理论例题

基于误差与测量理论回答下面问题：如图所示用弓高弦长法间接测量直径 D D D，其中直接测得弓高 h h h和弦长 l l l，通过函数关系 D = s 2 4 h + h D=\frac{s^2}{4h}+h D=4hs2​+h计算。若弓高与弦长测量值及其系统误差分别为 h = 50 m m − 0.1 m m h=50mm-0.1mm h=50mm−0.1mm、 s = 500 m m + 1 m m s=500mm+1mm s=500mm+1mm，求直径测量结果。