国赛A题分析

问题导读

FAST 由主动反射面、信号接收系统（馈源舱）以及相关的控制、测量和支承系统组成（如 图 1 所示），其中主动反射面系统是由主索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等主要 部件构成的一个可调节球面。

说白了就是一个传统的优化问题。首先我们注意一下重要的两个约束条件：

• 主索节点调节后，相邻节点之间的距离可能会发生微小变。变化幅度不能超过0.07%
• 促动器伸缩沿基准球面径向趋向球心方向为正向。基准状态下，促动器顶端径向伸缩量为 0，其径向伸缩范围为**-0.6～+0.6 米**。
  绘图如下：
  
  设所有的主索节点集合为 Q \mathcal{Q} Q，(相邻主索节点 ( x i , y i , z i ) (x_i,y_i,z_i) (xi​,yi​,zi​)、 ( x j , y j , z j ) (x_j,y_j,z_j) (xj​,yj​,zj​) )来说，
  第一个约束好理解，
  − 0.07 % ∣ ∣ q i 0 − q j 0 ∣ ∣ 2 ≤ ( ∣ ∣ q i − q j ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ q i 0 − q j 0 ∣ ∣ 2 ) ≤ 0.07 % ∣ ∣ q i 0 − q j 0 ∣ ∣ 2 , ∀ i , j ∈ Q -0.07\%||\boldsymbol{q}_{i}^{0}-\boldsymbol{q}_{j}^{0}||_2\le \left( ||\boldsymbol{q}_i-\boldsymbol{q}_j||_2-||\boldsymbol{q}_{i}^{0}-\boldsymbol{q}_{j}^{0}||_2 \right) \le 0.07\%||\boldsymbol{q}_{i}^{0}-\boldsymbol{q}_{j}^{0}||_2 ,\forall i,j \in \mathcal{Q} −0.07%∣∣qi0​−qj0​∣∣2​≤(∣∣qi​−qj​∣∣2​−∣∣qi0​−qj0​∣∣2​)≤0.07%∣∣qi0​−qj0​∣∣2​,∀i,j∈Q
  q i 0 \boldsymbol{q}_{i}^{0} qi0​为基准态时 i i i主索节点位置, q i \boldsymbol{q}_{i} qi​为时 i i i为工作态时主索节点位置， q i \boldsymbol{q}_{i} qi​和 q j \boldsymbol{q}_{j} qj​相邻。

对于第二个约束：
容易知 Q Q Q点法向量为：
n Q : ( − x Q , − y Q , − z Q ) \boldsymbol{n}_Q: \left( -x_Q,-y_Q,-z_Q \right) nQ​:(−xQ​,−yQ​,−zQ​)
因此，主索节点、促动器顶端，下端点的坐标成比例：



据此特点可以通过引进伸缩因子简化变量的维度。（具体见模型）

优化目标，这个是重点，留在模型中解释

此外为了方便做优化，我们需要处理的数据点可以通过特殊的等边三角形去筛选，也就是圆锥截取球面：

建立模型

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求解算法

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结果展示（附代码）

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