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⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树的性能分析
⼆叉搜索树的插⼊
⼆叉搜索树的查找
二叉搜索树中序遍历
⼆叉搜索树的删除
cur的左节点为空的情况
cur的右节点为空的情况
左，右节点都不为空的情况
二叉搜索树【实现代码】
⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
key/value搜索场景
key/value⼆叉搜索树代码实现
⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我 们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等 值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值 
⼆叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O(log2 N)
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆ 叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
⼆叉搜索树的插⼊
插⼊的具体过程如下：
树为空，则直接新增结点，赋值给root指针树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};下面我们可以看到，要插入一个16节点，比8大往右边走，比10大往右走，比14大往右走，走到空了就可以插入16这个节点了。
下面我们要插入3这个节点，比8小往左边走， 如果和3允许冗余的情况下往后大的走。
当cur循环到空时候，就在这个位置插入3这个节点，还需要parent记录上一个节点，用来和3节点进行连接。
接下来创建节点，构造用于申请新节点后初始化
//定义根节点赋值为空
第一步：判断根节点是不是空，是空把节点给根节点。
第二步：循环等于空就停下来，key小于当前节点往左边走，大于就往右走。
第三步：new一块新节点数值是key的，key和parent比较，parent就是记录上一个节点，小于和左边连接，大于和右边连接。
//节点template<class K>struct BS_Node{K _key;BS_Node<K>* _left;//左BS_Node<K>* _right;//右//构造-用于申请新节点后初始化BS_Node(const K& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}};template<class K>class BStree{typedef BS_Node<K> Node;public://插入bool insert(const K& key){//根节点为空if (_root == nullptr){//当前就给根节点_root = new Node(key);}//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//循环到cur为空，就停下来while (cur != nullptr){//key小于当前节点往左边走if (key < cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}//key大于当前节点往右边走else if(key > cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else{return true;}}//new一块新节点给curcur = new Node(key);if (key < parent->_key){//小于，和左边连接parent->_left = cur;}else{//大于，和右边连接parent->_right = cur;}return false;}private:Node* _root = nullptr;};⼆叉搜索树的查找
从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回
当我们要查询4从根节点开始，比8小往左边走，比3大往右边走，比6小往左走,找到4了，返回true。
.从根节点开始查询 ，cur不等于空，找到空了，就说明没有这个值。
小于当前节点往左边走，大于当前节点往右边走，等于就返回true。
二叉搜索树中序遍历
中序遍历定义在私有里，因为要从根节点开始遍历，需要用到根节点中序遍历。
然后在公有定义一个成员函数来，调用私有的中序遍历。
把数组的值插入到搜索二叉树，中序遍历打印出来。
因为没有9所以查询不到，返回false就是0。
⼆叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
要删除结点N左右孩⼦均为空要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空对应以上四种情况的解决⽅案：
把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。节点的删除，我们需要查询对应的节点，然后进行删除。
cur的左节点为空的情况
如果cur的左节点为空，那么parent这个父节点和cur的右节点进行连接。
如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往右走，然后释放cur节点。
cur的右节点为空的情况
右节点为空，那么parent这个父节点和cur的左节点进行连接。
如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往左走，然后释放cur节点。
左，右节点都不为空的情况
如果要删除3，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。
mincur是找cur右子树最小的那个节点，用来替换。
tab保存上一个节点，用来和mincur的右节点连接，如果右节点是空，那就是连接空节点。
把4的数值赋值给3这个节点，然后释放4这个节点。
如果要删除根节点，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。
我们发现10的左节点已经完成空了，那就是用10这个节点来替换了。
下面这个返回true，是查询到要删除的节点，就返回true.
找不到返回false.
二叉搜索树【实现代码】
Search for a binary tree.h【头文件】
#pragma once#include<iostream>using namespace std;namespace key{//节点template<class K>struct BS_Node{K _key;BS_Node<K>* _left;//左BS_Node<K>* _right;//右//构造-用于申请新节点后初始化BS_Node(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K>class BStree{typedef BS_Node<K> Node;public://插入bool insert(const K& key){//根节点为空if (_root == nullptr){//当前就给根节点_root = new Node(key);}//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//循环到cur为空，就停下来while (cur != nullptr){//key小于当前节点往左边走if (key < cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}//key大于当前节点往右边走else if (key > cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else{return true;}}//new一块新节点给curcur = new Node(key);if (key < parent->_key){//小于，和左边连接parent->_left = cur;}else{//大于，和右边连接parent->_right = cur;}return false;}//查询bool find(const K& key){//从根节点开始查询Node* cur = _root;while (cur != nullptr){//小于当前节点，往左走if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}//大于当前节点，往右走else if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;}//删除bool Erase(const K& key){//查找Node* cur = _root;//parent用来记录上一个节点Node* parent = nullptr;while (cur != nullptr){if (key < cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到了进行删除{//当前节点的左节点为nullif (cur->_left == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_right;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_left = cur->_right;}else{//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//当前节点的右节点为nullelse if (cur->_right == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_left;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_left = cur->_left;}else{//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else//左，右都不为空的情况{//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置//保存cur的右节点Node* mincur = cur->_right;//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题Node* tab = cur;while (mincur->_left != nullptr){//保存上一个节点tab = mincur;//一直往左边节点走，mincur = mincur->_left;}//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给curcur->_key = mincur->_key;//删除的节点为根节点，右节点为mincurif (tab->_right == mincur){//tab右节点和mincur右节点进行连接tab->_right = mincur->_right;}else //左节点为mincur{//tab的左边，和mincur的右边进行连接tab->_left = mincur->_right;}delete mincur;}return true;}}return false;}//用来调用中序遍历void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private://中序遍历void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;};}test.cpp【测试】
#include"Search for a binary tree.h"int main(){int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };key::BStree<int> t;for (auto i : a){t.insert(i);}t.InOrder();cout << t.find(9) << endl;for (auto i : a){t.Erase(i);t.InOrder();}}⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结 构了。
场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的 ⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆ 法进⼊。
场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单 词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。
key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查 找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修 改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查 找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次 出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
key/value⼆叉搜索树代码实现
Search for a binary tree.h
#pragma once#include<iostream>using namespace std;namespace key{//节点template<class K,class V>struct BS_Node{K _key;V _val;BS_Node<K,V>* _left;//左BS_Node<K,V>* _right;//右//构造-用于申请新节点后初始化BS_Node(const K& key,const V& val):_key(key),_val(val), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K,class V>class BStree{typedef BS_Node<K,V> Node;public://插入bool insert(const K& key,const V&val){//根节点为空if (_root == nullptr){//当前就给根节点_root = new Node(key,val);}//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//循环到cur为空，就停下来while (cur != nullptr){//key小于当前节点往左边走if (key < cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}//key大于当前节点往右边走else if (key > cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//new一块新节点给curcur = new Node(key,val);if (key < parent->_key){//小于，和左边连接parent->_left = cur;}else{//大于，和右边连接parent->_right = cur;}return true;}//查询Node* find(const K& key){//从根节点开始查询Node* cur = _root;while (cur != nullptr){//小于当前节点，往左走if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}//大于当前节点，往右走else if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else{//找到了返回当前节点return cur;}}//找不到返回空return nullptr;}//删除bool Erase(const K& key){//查找Node* cur = _root;//parent用来记录上一个节点Node* parent = nullptr;while (cur != nullptr){if (key < cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到了进行删除{//当前节点的左节点为nullif (cur->_left == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_right;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_left = cur->_right;}else{//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//当前节点的右节点为nullelse if (cur->_right == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_left;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_left = cur->_left;}else{//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else//左，右都不为空的情况{//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置//保存cur的右节点Node* mincur = cur->_right;//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题Node* tab = cur;while (mincur->_left != nullptr){//保存上一个节点tab = mincur;//一直往左边节点走，mincur = mincur->_left;}//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给curcur->_key = mincur->_key;//删除的节点为根节点，右节点为mincurif (tab->_right == mincur){//tab右节点和mincur右节点进行连接tab->_right = mincur->_right;}else //左节点为mincur{//tab的左边，和mincur的右边进行连接tab->_left = mincur->_right;}delete mincur;}return true;}}return false;}//用来调用中序遍历void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private://中序遍历void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " " <<_root->_val <<endl;_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;};}test.cpp
int main(){string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜","苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };key::BStree<string, int> countTree;for (auto& e : arr){//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(e);auto ret = countTree.find(e);if (ret == nullptr){countTree.insert(e, 1);}else{ret->_val++;}}countTree.InOrder();return 0;}场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。//int main()//{//key::BStree<string, string> dict;////BSTree<string, string> copy = dict;//dict.insert("left", "左边");//dict.insert("right", "右边");//dict.insert("insert", "插⼊");//dict.insert("string", "字符串");//string str;//while (cin >> str)//{//auto ret = dict.find(str);//if (ret)//{//cout << "->" << ret->_val << endl;//}//else//{//cout << "⽆此单词，请重新输⼊" << endl;//}//}//return 0;//}