阶乘（factorial）
又称为阶乘函数，是数学中的一个重要概念。它表示一个正整数n与小于或等于它的所有正整数的乘积，通常以符号“n!”表示。在数学领域中，阶乘是一个广泛应用的概念，常常出现在排列组合、概率统计、数论等诸多领域中。
目录
阶乘（factorial）
1. 阶乘的定义
2. 阶乘的性质和应用
3. 阶乘的计算方法
(1) 用递归方式计算阶乘:
(2) 用循环方式计算阶乘:
(3) 用高精度算法计算阶乘:
4. [拓展] 双阶乘的概念
5. 结束语
1. 阶乘的定义
一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作 n! 。
1808年，基斯顿·卡曼 引进这个表示法，即 n! = 1×2×3×...×(n-1)×n 。
阶乘的定义非常简单，即n的阶乘 (n!) 等于小于或等于n的所有正整数的乘积。
2. 阶乘的性质和应用
阶乘具有以下几个性质：
(1)：0的阶乘为1（0! = 1）。
(2)：负整数以及分数没有阶乘的定义。
(3)：阶乘增长非常快，随着n的增大，n!的值急剧增加。
阶乘在排列组合、概率统计、数论等领域有广泛的应用。
在排列组合中，阶乘用于计算有序的元素排列的方式数量。
例如，从n个元素中选取m个元素进行排列，可表示为 n!/(n-m)! ，即从n个元素中任选m个元素进行排列的不同方式数量。
从n个元素中选取m个元素进行组合，可表示为 n!/(n-m)!/m! ，即将其进行排列的结果除以m的阶乘，表示n个元素中任选m个元素进行组合的不同方式数量。
在概率统计中，阶乘用于计算排列组合方式的概率。例如，在一副扑克牌中，从中抽取5张牌的顺序不同的可能性就可以表示为5!。
在数论中，阶乘与素数、除法取模运算等概念有密切关联。例如，通过阶乘可以证明除法取模定理：对于任意的正整数n和素数p，n!模p的结果等于0。
3. 阶乘的计算方法
计算阶乘的方法可以通过递归或循环来实现。递归是一种将大问题分解为小问题的方法，通过反复调用自身来解决问题。用递归计算阶乘的公式为： 0! = 1 , n! = n×(n-1)! 。
(1) 用递归方式计算阶乘:
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int fact(int n){ if(n==0) return 1; return n * fact(n-1);}int main(){ int n; scanf("%lld",&n); printf("%d",fact(n)); return 0;}另一种常见的计算阶乘的方法是使用循环，从1到n逐步累乘得到阶乘的结果。
(2) 用循环方式计算阶乘:
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){ int n,s=1; scanf("%lld",&n); for(int i=1;i<=n;i++){ s*=i; } printf("%d",s); return 0;}但是，由于阶乘的增长特别快，13的阶乘( 6227020800 ) 就会超出 C++ 中int的数据范围(2147483647)， 而21的阶乘( 51090942171709440000 ) 就会超出 C++ 中long long的数据范围(9223372036854775807), 具体数值可以看这篇博客 [阶乘表 1-100阶乘] , 所以，使用普通的数据类型无法计算较大数的阶乘。
这里就需要用到高精度算法（High Accuracy Algorithm）了。
(3) 用高精度算法计算阶乘:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=10000;int a[N];int main(){a[1]=1;int c=1,t=0,xxx,n;scanf("%d",&n);if(n<2){printf("%d",1);return 0;}for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=c;j++){xxx=a[j]*i+t;a[j]=xxx%10;t=xxx/10;}while(t){c++;a[c]=t%10;t/=10;}}for(int i=c;i>0;i--) printf("%d",a[i]);return 0;}
4. [拓展] 双阶乘的概念
双阶乘（即二次阶乘）是在阶乘的基础上的一个扩展概念。双阶乘表示对小于等于正整数n的所有奇数进行乘积。通常用符号“ n!! ”表示。
双阶乘的计算方法与阶乘类似，但考虑的元素不同，双阶乘只考虑奇数。通过递归或循环，将n的阶乘的奇数部分相乘得到双阶乘的结果。
双阶乘有其特殊的应用场景。例如，在组合数学中，双阶乘被用于计算排列组合的可能性。特别地，双阶乘在计算卡特兰数（Catalan number）时起到重要作用，卡特兰数表示在特定条件下有效的排列组合的数量。
5. 结束语
阶乘是数学中一个常用的概念，其定义是将一个正整数与小于或等于它的所有正整数相乘。阶乘的计算可以通过递归或循环来实现。阶乘具有多种性质和应用，常用于排列组合、概率统计和数论中。双阶乘是对小于等于正整数n的所有奇数进行乘积，其计算方法和阶乘类似。双阶乘在计算卡特兰数等应用中有特殊的作用。
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