Python解决高等数学问题，妈妈再也不用担心我的学习

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使用Python解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题

Sympy是一个Python的科学计算库，它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。 SymPy 包括从基本符号算术到微积分，代数，离散数学和量子物理学的功能。 它可以在 LaTeX 中显示结果。

Sympy官网

看到这图，是不是感觉快喘不过气了呢。Python来帮你解决。

from sympy import *

输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号

x = Symbol("x")
y = Symbol("y")

1. 实用技巧

1.1 符号函数

sympy提供了很多数学符号，总结如下

• 虚数单位

sympy.I

• 自然对数

sympy.E 

• 无穷大

sympy.oo

• 圆周率

 sympy.pi

• 求n次方根

 sympy.root(8,3)

• 取对数

sympy.log(1024,2)

• 求阶乘

sympy.factorial(4)

• 三角函数

sympy.sin(sympy.pi)
sympy.tan(sympy.pi/4)
sympy.cos(sympy.pi/2)

1.2 展开表达式expand

f = (1+x)**3
expand(f)

x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 \displaystyle x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 x3+3x2+3x+1

1.3 泰勒展开公式series

ln(1+x).series(x,0,4)

x − x 2 2 + x 3 3 + O ( x 4 ) \displaystyle x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + O\left(x^{4}\right) x−2x2​+3x3​+O(x4)

sin(x).series(x,0,8)

x − x 3 6 + x 5 120 − x 7 5040 + O ( x 8 ) \displaystyle x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + O\left(x^{8}\right) x−6x3​+120x5​−5040x7​+O(x8)

cos(x).series(x,0,9)

1 − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + x 8 40320 + O ( x 9 ) \displaystyle 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} + \frac{x^{8}}{40320} + O\left(x^{9}\right) 1−2x2​+24x4​−720x6​+40320x8​+O(x9)

(1/(1+x)).series(x,0,5)

1 − x + x 2 − x 3 + x 4 + O ( x 5 ) \displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + O\left(x^{5}\right) 1−x+x2−x3+x4+O(x5)

tan(x).series(x,0,4)

x + x 3 3 + O ( x 4 ) \displaystyle x + \frac{x^{3}}{3} + O\left(x^{4}\right) x+3x3​+O(x4)

(1/(1-x)).series(x,0,4)

1 + x + x 2 + x 3 + O ( x 4 ) \displaystyle 1 + x + x^{2} + x^{3} + O\left(x^{4}\right) 1+x+x2+x3+O(x4)

(1/(1+x)).series(x,0,4)

1 − x + x 2 − x 3 + O ( x 4 ) \displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + O\left(x^{4}\right) 1−x+x2−x3+O(x4)

1.4 符号展开

a = Symbol("a")
b = Symbol("b")
#simplify( )普通的化简
simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
#trigsimp( )三角化简
trigsimp(sin(x)/cos(x))
#powsimp( )指数化简
powsimp(x**a*x**b)

x a + b \displaystyle x^{a + b} xa+b

2. 求极限limit

limit(sin(x)/x,x,0)

1 \displaystyle 1 1

f2=(1+x)**(1/x)

f2

( x + 1 ) 1 x \displaystyle \left(x + 1\right)^{\frac{1}{x}} (x+1)x1​

重要极限

f1=sin(x)/x
f2=(1+x)**(1/x)
f3=(1+1/x)**x
lim1=limit(f1,x,0)
lim2=limit(f2,x,0)
lim3=limit(f3,x,oo)
print(lim1,lim2,lim3)

1 E E

dir可以表示极限的趋近方向

f4 = (1+exp(1/x))
f4

e 1 x + 1 \displaystyle e^{\frac{1}{x}} + 1 ex1​+1

lim4 = limit(f4,x,0,dir="-")
lim4

1 \displaystyle 1 1

lim5 = limit(f4,x,0,dir="+")
lim5

∞ \displaystyle \infty ∞

3. 求导diff

diff(函数,自变量,求导次数)

3.1 一元函数

求导问题

diff(sin(2*x),x)

2 cos ⁡ ( 2 x ) \displaystyle 2 \cos{\left(2 x \right)} 2cos(2x)

diff(ln(x),x)

1 x \displaystyle \frac{1}{x} x1​

3.2 多元函数

求偏导问题

diff(sin(x*y),x,y)

− x y sin ⁡ ( x y ) + cos ⁡ ( x y ) \displaystyle - x y \sin{\left(x y \right)} + \cos{\left(x y \right)} −xysin(xy)+cos(xy)

4. 积分integrate

4.1 定积分

• 函数的定积分: integrate(函数，(变量，下限，上限))
• 函数的不定积分: integrate(函数,变量)

f = x**2 + 1
integrate(f,(x,-1.1))

− 1.54366666666667 \displaystyle -1.54366666666667 −1.54366666666667

integrate(exp(x),(x,-oo,0))

1 \displaystyle 1 1

4.2 不定积分

f = 1/(1+x*x)
integrate(f,x)

atan ⁡ ( x ) \displaystyle \operatorname{atan}{\left(x \right)} atan(x)

4.3 双重积分

f = (4/3)*x + 2*y
integrate(f,(x,0,1),(y,-3,4))

11.6666666666667 \displaystyle 11.6666666666667 11.6666666666667

5. 求解方程组solve

#解方程组
#定义变量
f1=x+y-3
f2=x-y+5
solve([f1,f2],[x,y])

{x: -1, y: 4}

6. 计算求和式summation

计算求和式可以使用sympy.summation函数，其函数原型为sympy.summation(f, *symbols, **kwargs)

**

sympy.summation(2 * n,(n,1,100))

10100

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参考:
Sympy官网：https://docs.sympy.org/latest/index.html