一、FIR滤波器表达式
FIR滤波器表达式：
![y(n) = a_{0}[n]+ a_{1}[n-1]+ a_{2}[n-2]+ a_{3}[n-3]+ ...](http://zhangshiyu.com/zb_users/upload/2024/09/20240914172135172630569547122.png)
上式中的x代表待滤波数据，y代表输出数据；系数a0、a1、a2...就是滤波器的冲激响应系数。所以在FIR滤波器中，每一时刻的输出取决于之前的有限个输入，因此就是“有限冲激响应”。
特点：
有限长度的脉冲响应： FIR 滤波器的冲激响应在有限时间内消失，即它的输出在有限个时间点之后为零。线性相位特性： FIR 滤波器可以设计成具有线性相位响应，意味着所有频率成分都被延迟相同的时间，适用于对相位响应要求严格的应用。稳定性： 由于没有反馈路径，FIR 滤波器天生是稳定的，不会发生自发振荡。设计简单： 设计和实现比较简单，尤其是在硬件实现中，因为只涉及加法和乘法运算。缺点：
计算复杂度高： 对于同样的滤波效果，FIR 滤波器通常需要更高的阶数（更多的系数），这意味着更多的计算量。存储需求大： 高阶的 FIR 滤波器需要更多的存储空间来存储滤波器系数。
二、IIR滤波器表达式
IIR滤波器的表达式为：
![y(n) = a_{0}[n]+ a_{1}[n-1]+ a_{2}[n-2]+ a_{3}[n-3]+ ...b_1y[n-1]+b_2[n-2]+b_3[n-3]...](http://zhangshiyu.com/zb_users/upload/2024/09/20240914172135172630569550216.png)
上式通过将输入信号的值乘以“a”系数，将先前从输出信号计算的值乘以“b”系数，并将乘积相加，可以找到输出信号中的每个点，上式称为递归公式由于本步骤的输出会作为下一步骤的输入，无限递归下去，所以一个时刻的影响就是无限的，也就是“无限冲激响应”。
巴特沃兹滤波器是一种IIR(Infinite Impulse Response)滤波器，可以对信号进行低通、高通、带通或带阻滤波。巴特沃斯(Butterworth)滤波器的Simulink实现如下。
特点：
无限长度的脉冲响应： IIR 滤波器的冲激响应在理论上是无限长的，它的输出可能永远不会完全为零。反馈路径： IIR 滤波器包含反馈路径，其输出不仅依赖于当前和过去的输入值，还依赖于过去的输出值。高效性： 通常可以用较低的阶数（更少的系数）实现与 FIR 滤波器相同的滤波效果，从而降低计算复杂度和存储需求。缺点：
稳定性问题： 由于反馈路径的存在，IIR 滤波器可能不稳定，设计时需要特别注意稳定性。非线性相位响应： IIR 滤波器通常不能实现线性相位响应，因此在对相位要求严格的应用中不如 FIR 滤波器。三、应用场景
FIR 滤波器： 适用于对相位响应要求严格、需要线性相位的应用，如图像处理、数据传输等。IIR 滤波器： 适用于对实时性要求高、计算资源有限的应用，如音频处理、通信信号处理等。总之，FIR 和 IIR 滤波器各有优缺点，选择哪种滤波器应根据具体应用的需求和限制条件来决定。
参考链接：
（1）https://www.zhihu.com/question/323353814/answer/2708545913
（2）巴特沃斯(Butterworth)滤波器（一）_巴特沃斯滤波器传递函数-CSDN博客
（3）巴特沃斯(Butterworth)滤波器（二）_二阶巴特沃斯滤波器公式-CSDN博客
（4）IIR滤波器设计基础及Matlab设计示例_iir数字滤波器设计及matlab实现-CSDN博客
（5）利用MATLAB实现巴特沃兹滤波器_matlab巴特沃斯滤波器-CSDN博客