自动控制——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼及无阻尼

自动控制——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼及无阻尼

引言

在自动控制系统和振动分析中，系统的阻尼特性对于系统的动态响应至关重要。阻尼决定了系统在受到扰动或输入信号后，如何恢复到稳定状态。本文将详细介绍过阻尼（overdamped）、欠阻尼（underdamped）、临界阻尼（critically damped）和无阻尼（undamped）的定义、公式，并通过Python代码演示不同阻尼条件下系统的响应。

系统的阻尼特性

考虑一个典型的二阶线性系统，其传递函数可以表示为：

H ( s ) = ω n 2 s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} H(s)=s2+2ζωn​s+ωn2​ωn2​​

其中：

- ω n \omega_n ωn​是系统的自然频率。
- ζ \zeta ζ是阻尼比，定义为 ζ = c 2 m k \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} ζ=2mk ​c​，其中 c c c是阻尼系数， m m m是质量， k k k是弹簧常数。

根据阻尼比 ζ \zeta ζ的不同，系统的动态响应分为以下几种类型：

1. 无阻尼（Undamped）

当 ζ = 0 \zeta = 0 ζ=0时，系统没有阻尼力的影响，其响应为纯粹的正弦波动，永不衰减。无阻尼系统在自然频率 ω n \omega_n ωn​下振荡。

x ( t ) = A cos ⁡ ( ω n t ) + B sin ⁡ ( ω n t ) x(t) = A \cos(\omega_n t) + B \sin(\omega_n t) x(t)=Acos(ωn​t)+Bsin(ωn​t)

2. 欠阻尼（Underdamped）

当 0 < ζ < 1 0 < \zeta < 1 0<ζ<1时，系统处于欠阻尼状态。系统响应在频率 ω d = ω n 1 − ζ 2 \omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} ωd​=ωn​1−ζ2 ​下振荡，并随着时间指数衰减。

x ( t ) = e − ζ ω n t ( A cos ⁡ ( ω d t ) + B sin ⁡ ( ω d t ) ) x(t) = e^{-\zeta\omega_n t} \left( A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) \right) x(t)=e−ζωn​t(Acos(ωd​t)+Bsin(ωd​t))

欠阻尼系统的特征是系统会振荡几次，然后逐渐趋于平衡。

3. 临界阻尼（Critically Damped）

当 ζ = 1 \zeta = 1 ζ=1时，系统处于临界阻尼状态。此时系统响应速度最快，不会出现振荡，但也不会像过阻尼那样慢慢回到平衡状态。

x ( t ) = ( A + B t ) e − ω n t x(t) = (A + Bt) e^{-\omega_n t} x(t)=(A+Bt)e−ωn​t

临界阻尼是最理想的阻尼状态，它能确保系统迅速回到平衡而不出现振荡。

4. 过阻尼（Overdamped）

当 ζ > 1 \zeta > 1 ζ>1时，系统处于过阻尼状态。系统响应不再振荡，但相比于临界阻尼系统，它恢复到平衡所需的时间更长。

x ( t ) = A e ( λ 1 t ) + B e ( λ 2 t ) x(t) = A e^{(\lambda_1 t)} + B e^{(\lambda_2 t)} x(t)=Ae(λ1​t)+Be(λ2​t)

其中， λ 1 \lambda_1 λ1​和 λ 2 \lambda_2 λ2​是系统的特征根，且 λ 1 , λ 2 < 0 \lambda_1, \lambda_2 < 0 λ1​,λ2​<0。

Python代码实现

下面的Python代码演示了一个简单的二阶系统在不同阻尼条件下的时间响应。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.signal import lti, step# 定义系统的自然频率和时间范围omega_n = 5.0  # 自然频率t = np.linspace(0, 5, 500)# 定义不同阻尼比的系统systems = {    'Undamped (ζ=0)': lti([omega_n**2], [1, 0, omega_n**2]),    'Underdamped (ζ=0.5)': lti([omega_n**2], [1, 2*0.5*omega_n, omega_n**2]),    'Critically Damped (ζ=1)': lti([omega_n**2], [1, 2*1.0*omega_n, omega_n**2]),    'Overdamped (ζ=2)': lti([omega_n**2], [1, 2*2.0*omega_n, omega_n**2])}# 绘制每个系统的阶跃响应plt.figure(figsize=(10, 6))for label, system in systems.items():    t, y = step(system, T=t)    plt.plot(t, y, label=label)# 图表设置plt.title('不同阻尼条件下的系统阶跃响应')plt.xlabel('时间 [s]')plt.ylabel('响应')plt.grid(True)plt.legend()plt.show()

代码解释

lti: scipy.signal.lti 函数用于定义线性时不变（LTI）系统。step: step 函数用于计算系统的阶跃响应。systems: 定义了四种不同阻尼比 ζ \zeta ζ的系统：无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。

结论

通过上述分析和代码演示，我们可以看到阻尼比 ζ \zeta ζ对系统动态响应的影响：

无阻尼系统（ ζ = 0 \zeta = 0 ζ=0）会永远振荡，不会衰减。欠阻尼系统（ 0 < ζ < 1 0 < \zeta < 1 0<ζ<1）会振荡几次，随着时间的推移逐渐平稳。临界阻尼系统（ ζ = 1 \zeta = 1 ζ=1）是理想的，它在不振荡的情况下快速回到平衡。过阻尼系统（ ζ > 1 \zeta > 1 ζ>1）不会振荡，但比临界阻尼系统更慢地回到平衡状态。

理解和设计适当的阻尼对于工程应用至关重要，能够有效避免系统的过冲、延迟或持续振荡。在实际应用中，通常会设计系统使其接近临界阻尼状态，以确保快速而稳定的响应。