CT重建
CT图像重建的历史Radon变换投影弦图采样几何形状图像重建直接矩阵迭代法傅里叶重建傅里叶重建的局限性 反投影法滤波反投影法（FBP) 总结反投影滤波反投影傅里叶
CT图像重建的历史
Radon变换与逆变换的提出奠定CT图像重建的数学基础（1917）
卷积反投影算法/滤波反投影算法的提出开启了图像精确重建的大门（1971-1974）
Feldkamp等人提出的FDK算法开启了图像三维重建的新纪元（1980）
Katsevich解决了锥形束螺旋CT图像精确重建的轴向截断问题（2002）
Pan等人提出了反投影滤波算法，解决了数据横向截断问题（2004）
Zhang等人提出了基于人工智能技术/深度学习技术的智能重建方法，革新了CT重建算法（2019）
Radon变换
Radon 变换揭示了函数和投影之间的关系，若函数为f (x, y)，则不同角度下的投影为：
p ( t , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x c o s θ + y s i n θ − t ) d x d y p(t,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(xcos\theta+ysin\theta-t)dxdy p(t,θ)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−t)dxdy
一个无限薄的切片内相对线性衰减系数的分布是由它的所有线积分的集合唯一决定
投影
物质对X射线的吸收可以用朗伯比尔定律来描述：
假设射出的X射线强度为 N 0 N_0 N0，射入的X射线强度为 N i N_i Ni
N 0 = N i e − μ d N_0=N_ie^{-\mu d} N0=Nie−μd
下面为叠加形式：
弦图
弦图是描述投影的方法，弦空间的纵轴表示探测器单元，横轴表示投影角度，一个单位投影就表示为平行于横轴直线上的一个样本集。
这样，在不同扫描角度上所采集到的所有数据就组成了一幅二维图像。
将投影 p ( s , θ ) p(s,\theta) p(s,θ)显示在 s − θ s-\theta s−θ坐标系中，则空间域的一个点在弦空间内为一条正弦曲线。
将物体看作许多点的结合，在弦空间即为一系列正弦曲线的重叠图像。
matlab生成弦图的代码
I=phantom(256);theta=0:179;P=radon(I,theta);figure;imshow(I,[]),title('256*256头模型图像');figure;imagesc(P),colormap(gray),colorbar,title('180°平行束投影图像');采样几何形状
图像重建
由已知弦图求解CT图像
可利用的算法为：
直接矩阵求解法（Direct matrix inversion）
迭代法（ iterative）
傅里叶重建法（Fourier reconstruction）
反投影法（Back-projection）
滤波反投影法（Filtered back projection）
直接矩阵
设待重建图像大小为： 2 8 ∗ 2 8 = 256 ∗ 256 ， 2^8 *2^8 = 256 * 256， 28∗28=256∗256，
则，矩阵F的大小为： 2 16 ∗ 2 16 = 2 32 ， 2^{16} *2^{16} = 2^{32}， 216∗216=232，
不便于用于实际
迭代法
给出初始矩阵
用初始矩阵形成投影
把待重建物体投影与模拟投影进行比较
若误差满足要求，迭代停止
比较精确，但速度慢，多用于核医学设备的图像重建和低剂量CT的图像重建
傅里叶重建
1、收集CT 扫描各角度投影
2、每一投影都计算1D FT
3、规整2D坐标FT平面
4、通过2D反FT算回原回影像
图像沿某一方向的投影，经过1D 傅立叶变换之后，对应2D傅立叶变换平面的一条线
\qquad \qquad 
投影越多采样越多，类似于MRI重建中的K空间
下面的图更有利于理解一维和二维的频率空间
下图为三个空间的转换
傅里叶重建的局限性
1、2D频域上的点不是成矩阵排列的，在做傅立叶逆变换之前需将样本插值转换为笛卡尔坐标表示。高频区域的点比较稀疏，插值结果受影响。实域中的插值误差仅仅影响像素周围的小区域，但频域插值误差会影响整幅图像质量
2、F(u,v)中某一元素值的改变将导致整副图像强度的改变，同时还产生了明显的阴影伪影
（F(0, 1)表示图像f(x, y)在水平方向的dc成分和竖直方向的一次谐波，其估算的误差就导致图像强度的变化以及竖直方向上一个单周期的正弦阴影）
3、难以实现目标重建，逆傅立叶变换的尺寸反比于ROI的尺寸，对于很小的ROI，矩阵太大难以处理
4、对断层的投影是一维的，求物体图像的逆变换却是二维的，因此，必须将数据都存储起来，等到全部数据完整之后才能进行二维逆变换，这就要求硬件内存大，等待的时间长，难于实现实时的图像重建要求。
反投影法
原理：断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和（的平均值）
。
容易产生星状伪影。
产生原因：反投影法把取自有限物体空间的投影均匀地回抹（反投影）到了射线所及的无限空间的各个像素上，包括原来像素值为0的点。
容易形成星状伪影
改进方法：滤波函数对图像进行处理（包括前处理和后处理）
前处理：在反投影前先滤波，理论基础：在线性系统中滤波算子可以交换顺序
后处理：用2D滤波函数对反投影法得到的图像进行处理，实现图像质量的提升但不改变重建
滤波反投影法（FBP)
主要引入了滤波运算和卷积运算，在反投影前先用一个校正函数进行滤波
P ( ω , θ ) P(\omega, \theta) P(ω,θ)表示对应于 θ \theta θ角度的单位投影的傅立叶变换；里层的积分是 P ( ω , θ ) ∣ ω ∣ P(\omega, \theta)|\omega| P(ω,θ)∣ω∣的逆傅立叶变换，记为 g ( t , θ ) g(t,\theta) g(t,θ)，在空间域，它表示单位投影被一频域响应为 ∣ ω ∣ |\omega| ∣ω∣的函数做滤波运算，故称之为滤波反投影。
如果滤波器设计得当，当滤波反投影信号叠加时，“辐射”的正值和负值正好互相抵消，则可以精确反映原来目标。
g ( t , θ ) = g ( x c o s θ , y s i n θ ) = ∫ − ∞ ∞ P ( ω , θ ) ∣ ω ∣ e j 2 π ω ( x c o s θ + y s i n θ ) d ω g(t,\theta)=g(xcos\theta,ysin\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}P(\omega,\theta)|\omega|e^{j2\pi\omega(xcos\theta+ysin\theta)}d\omega g(t,θ)=g(xcosθ,ysinθ)=∫−∞∞P(ω,θ)∣ω∣ej2πω(xcosθ+ysinθ)dω
滤波函数：
ζ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ ∣ ω ∣ e j 2 π ω t d ω \zeta(t)=\int_{-\infty}^{\infty}|\omega|e^{j2\pi\omega t}d\omega ζ(t)=∫−∞∞∣ω∣ej2πωtdω
上面为理想滤波器，由于无限频带，需要利用窗函数得到不同的滤波器
用matlab可以实现
I=phantom(256);theta=0:1:179;P=radon(I,theta);rec=iradon(P,theta,'linear','None');rec_RL=iradon(P,theta,'Ram-Lak');rec_SL=iradon(P,theta,'linear','Shepp-Logan');figure;subplot(2,2,1);imshow(I,[]),title('原始图像');subplot(2,2,2);imshow(rec,[]),title('直接反投影图像');subplot(2,2,3);imshow(rec_RL,[]),title('RL滤波反投影图像');subplot(2,2,4);imshow(rec_SL,[]),title('SL滤波反投影图像');
shepp-logan滤波器：平滑图像，损失了部分高频信息。
hamming滤波器：降低了高频噪声
骨滤过器和软组织滤过器：根据诊断需求可选用不同的滤波函数
1）平滑用于观察软组织
2） 锐利用于观察高分辨力影像
FBP中的补0运算
原始滤波运算包含一个非周期卷积运算,变到频域后就是周期卷积，直接计算将产生干涉伪影，即所谓的warp-around效应。因此必须在傅立叶变换和滤波操作之前给每一个投影补0，才能避免伪影产生
总结
从左到右分别为：反投影法，滤波反投影法，傅里叶变换
反投影
1、反投影法（总和法）：是利用投影数值近似地复制出吸收系数的二维分布。它的基本原理是将所测得的投影值按其原路径平均地分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推断出原图像。
2、正方形物体反投影法重建的物体图像不是正方形，变成了“星”状物，中心处吸收系数值最大，离中心越远值越低，产生图像的边缘失锐。
3、反投影法会造成影像边缘的不清晰。如果在一均匀的组织密度内，存在吸收系数极不均匀的部分时，反投影图像会出现图像的伪影。
滤波反投影
1、滤波反投影重建方法：采用先修正、再反投影的做法，得到原始的密度函数。滤波反投影重建图像的基本做法是：在某一投影角下取得投影函数（一维函数）后，对其作滤波处理，得到一个经过修正的投影函数。然后再将此修正后的投影函数作反投影运算，得出所需的密度函数。
2、滤波反投影法在实现图像重建时，只需作一维的傅里叶变换。由于避免了费时的二维傅里叶变换，滤波反投影法明显地缩短了图像重建的时间。
傅里叶
1、傅里叶变换重建方法：对于每次测得的投影数据先作一维傅里叶变换，根据中心切片定理，可将此变换结果看成二维频域中同样角度下过原点的直线上的值。在不同投影角度下所得的一维变换函数可在频域中构成完整的二维傅里叶变换函数，将此二维变换函数进行逆变换，就得到了所要求的空间域中的密度函数。
2、傅里叶变换的方法重建图像时，投影函数的一维傅里叶变换在频域中表现为极坐标的形式，把极坐标形式的数据通过插补运算转换为直角坐标形式的数据时，计算的工作量比较大。此外，在极坐标形式的频域数据中，离原点较远的频率较高的部分数据比较稀疏，当这些位置上的数据转换到直角坐标下时，需经过插补，这将引入一定程度的误差。也就是在重建的图像中，高频分量可能会有较明显的失真。