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第十四届蓝桥杯省赛JavaB组试题E【蜗牛】Dijkstra堆优化 or 线性DP
时间：?2023年4月28日09:32:16 此题属于线性DP问题（正确题解附在文末），由于位置存储的难度，此题不再考虑dijkstra。
时间：?2023年4月11日10:28:22发现问题，致歉大家，我的纵坐标存储方式是错误的，但是总体思路没问题。?错误原因：
今天突然发现了一个问题，我存储的纵坐标的方式的错误的，按照之前发的题解我是这样来存储的：x + N + y,我记错了，应该是x * N + y，为什么是错误的呢？
首先，N是横纵坐标中最值较大的那一个，那么在此题，很明显是xi，它最大是1
e9，而纵坐标ai、bi只有1e4，那么此时N就是1e9，而x * N + y的最大就是1e18+1e4。显然超出了数组的容量，当时没注意，误把N看作是站点个数1e5了，所以想到了这样的办法。给大家说声抱歉。
这样做有什么好处呢？这样可以把二维坐标用一维来存，什么原理？令index = x * N + y；那么x = index / N；y = index % N；确实好用，但是此题数据范围过大，如果这样存储不能过全部样例。
当时没做出来也是不知道怎么存储纵坐标，所以我还是认为此题难在如何存储传送门的位置，因为传送门的位置是二维的，如果开二维数组，在编译的时候一样的堆溢出的，很懊恼，看看之后有没有其他大神的题解吧。
文章目录
?前言?题目描述?解题思路?Code分析?Code实现堆优化的dijkstra（error）线性dp（pass） ?结语
?前言
?小伙伴们大家好，好久没更新文章了，最近一直在准备蓝桥杯。为什么我要先发这道题的题解呢？不是因为我当时做出来了，而是因为我当时大意了没做出来。如果这道题的纵坐标存好了或许还有机会，说多了都是泪…唉，一言难尽。话不多说，先看解析吧！
?题目描述
?没看懂题意？看到“传送门”和“魔法蜗牛”怕了吗，哈哈哈哈哈哈哈哈哈! 来，我手把手教你用魔法打败魔法。咱们先来捋捋题目到底是啥意思，看个图↓
?解题思路
?图中方框代表传送门，箭头线代表可走的路径，注意，这些路线都是有方向的。我们可以把所有的位置看作是一个一个的站点，题意就变为了从原点出发，到终点的最短时间，而这个时间就等同于我们最短路径问题的距离。（还是不清楚怎么走的同学，可以配合着我的图画，看看在图片最后的坐标走向是怎么样的。 ）
?这道题的难点之一在于如何存储杆子上传送门的位置，通过思考我们可以得知，杆子的位置与杆子的横坐标有关，与传送门的纵坐标有关，我当时太笨了，用了一个类去存，结果在写链式前向星的时候人傻了… 正确的做法是：y = idx（杆子的横坐标）+ N（最大站点数目） + ai（传送门的高度） ，这样可以保证传送门的位置是唯一确定的，如果不加N，有可能会与后面的杆子位置重复。
?站点位置存好了，那边呢？一共就这么几种边：①水平边，水平边很好办，枚举前n-1个杆子的位置，距离（时间）就是横坐标相减，建立起来就好。②竖直边，传送门与地面的距离，这个刚才说了，注意一点，他们的距离不是直接写高度，上去和下来的速度是不一样的，于是我们有：
static double levelTime = 1.0, downTime = 1.0 / 1.3, upTime = 1.0 / 0.7;?levelTime 表示水平的单位时间，downTime 表示下落的单位时间，upTime 表示爬上杆子的单位时间。③传送门的边，这个边很特殊，因为是瞬移，所以权值为0。
?Code分析
?我们不妨先看看用例范围：1e5？标准的dijkstra堆优化，链式前向星建图。时间复杂度是O(n logn)，稳的！那么边的数目是多少呢？dis[]数组开多大呢？我们从刚才是这个地方“y = idx（杆子的横坐标）+ N（横纵坐标较大的那个范围） + ai（传送门的高度）”以及题目的样例范围可以得出，我们给他开3倍大小的N就足够，边呢？应该是这么多：N（水平）+2N（竖直来回）+N（传送门） = 4N，管他呢，反正N最大才1e5，我们待会儿直接直接开十倍。然后就是输出那里，这里用printf来控制一下输出就行，详情看代码。
?Code实现
堆优化的dijkstra（error）
import java.io.*;import java.util.*;/** * Created with IntelliJ IDEA. * * @Auther: LiangXinRui * @Date: 2023/4/8 17:33 * @Description: 输入 * 3 * 1 10 11 * 1 1 * 2 1 * 输出 * 4.20 */public class Main { final static int N = (int) (1e5 + 10), M = 10 * N; static int n, total; static double levelTime = 1.0, downTime = 1.0 / 1.3, upTime = 1.0 / 0.7; static double[] dis = new double[3 * N];//每个站点到原点的最短距离（时间） static int[] idx = new int[N];//存每个杆子的横坐标 static int[] head = new int[M], ends = new int[M], next = new int[M]; static double[] weights = new double[M]; static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in))); static void add(int start, int end, double weight) { ends[total] = end; weights[total] = weight; next[total] = head[start]; head[start] = total++; } public static void main(String[] args) { n = nextInt(); Arrays.fill(head, -1); for (int i = 0; i < n; i++) idx[i] = nextInt(); //存水平的边，上下的边，传送门的边,纵坐标用横坐标+n+ai来表示 //添加水平边 add(0, idx[0], levelTime); for (int i = 0; i < n - 1; i++) { add(idx[i], idx[i + 1], levelTime * (idx[i + 1] - idx[i])); } for (int i = 0; i < n - 1; i++) {//竖直边 int ai = nextInt(); int bi = nextInt(); //传送门的单向边 add(idx[i] + N + ai, idx[i + 1] + N + bi, 0); //第一个传送门与地面的边 add(idx[i], idx[i] + N + ai, upTime); add(idx[i] + N + ai, idx[i], downTime); //第二个传送门与地面的边 add(idx[i + 1], idx[i + 1] + N + bi, upTime); add(idx[i + 1] + N + bi, idx[i + 1], downTime); } dijkstra(); System.out.printf("%.2f", dis[idx[n - 1]]); } static void dijkstra() { Queue<Node> queue = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> (int) (o1.dis - o2.dis));//优先队列堆优化 Arrays.fill(dis, Double.MAX_VALUE); dis[0] = 0; queue.offer(new Node(0, weights[0])); while (!queue.isEmpty()) { Node hh = queue.poll(); for (int i = head[hh.num]; i != -1; i = next[i]) { int j = ends[i]; if (dis[j] > dis[hh.num] + weights[i]) { dis[j] = dis[hh.num] + weights[i]; queue.offer(new Node(j, dis[j])); } } } } static class Node { int num; double dis; public Node(int num, double dis) { this.num = num; this.dis = dis; } } static int nextInt() { try { in.nextToken(); } catch (IOException e) { e.printStackTrace(); } return (int) in.nval; }}线性dp（pass）
dp[i][j] 表示蜗牛走到第 i 根杆子的最短用时，j 表示状态。
j = 0 : 走到杆子底部
j = 1 ：走到杆子的传送门处
P.S.由于只与前一个杆子状态有关，其实用两个变量就行，用二维数组便于理解
时间复杂度: O(n)
import java.io.*;import java.util.*;public class Main{ static int maxn = 200005,n,m; static long INF = (long)2e18,ans = 0,mod = (int)1e9+7; static Scanner sc = new Scanner (System.in); static BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); static StreamTokenizer st =new StreamTokenizer(bf); static PrintWriter pw = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out)); public static void main(String[]args) throws IOException{ int T = 1; //T = Integer.parseInt(S()); while(T-->0) solve(); pw.flush(); } static final int I() throws IOException { st.nextToken(); return (int)st.nval; } static void solve() throws IOException{ n = I(); long x[] = new long [n+1]; for(int i=1;i<=n;i++) x[i] = I(); int []a = new int [n+1]; int []b = new int [n+1]; for(int i=1;i<n;i++) { a[i] = I();b[i] = I(); } double dp[][] = new double[n+1][2]; dp[1][0] = x[1]; //底端最小用时 dp[1][1] = x[1] + a[1] / 0.7; //传送门用时 for(int i=2; i<=n ; i++) { dp[i][0] = Math.min(dp[i-1][0]+x[i]-x[i-1], dp[i-1][1] + b[i-1]/1.3); dp[i][1] = Math.min(dp[i][0] + a[i] / 0.7, dp[i-1][1] + ((b[i-1]>a[i])?(b[i-1]-a[i])/1.3: (a[i]-b[i-1])/0.7)); } pw.printf("%.2f",dp[n][0]); }}???大家觉得今年的题更难一点吗？在评论区`说说自己的看法吧。???
?结语
?初学一门技术时，总有些许的疑惑，别怕，它们是我们学习路上的点点繁星，帮助我们不断成长。
?文章粗浅，希望对大家有帮助！
?参考文章：蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-蜗牛（线性dp）